Felix E. Browder
Matematik Bölümü
University of Chicago
Chicago, IL 60637

"Konu alanının enginliği göz önüne alındığında, matematik, hatta modern matematik bile, bebeklik çağında bir bilimdir. Uygarlık ilerlemeye devam ederse, önümüzdeki iki bin yıl içinde insan düşüncesindeki ezici yenilik, matematiksel kavrayışın egemenliği olacaktır."

Matematiğin Gizemi

Birkaç yıl önce, University of Chicago’daki Matematik Bölümü’ndeki meslektaşlarımdan biri benden, çoğunlukla lisans öğrencilerinden oluşan uzman olmayan bir dinleyici kitlesine yönelik, matematik üzerine genel ve matematiksel olmayan bir ders vermemi istedi. Yarı matematiksel hitabete yönelik bu tuhaf derecede alışılmadık girişim için şu başlığı seçtim: "Matematik ilgili midir ve eğer öyleyse, neyle ilgilidir?"

Başlık alaycı olmasa da gizemlidir. Gizemli olmasının nedeni, dil kullanımına ilişkin ortak deneyimimizden uzak, egzotik ya da teknik terimler içermesi değildir; aksine, neredeyse hepimizin aşina olduğu iki sıradan terimi, "matematik" ve "ilgili" sözcüklerini içermesidir. Gizem, bu sözcüklerin sıradanlığında ve belirsiz ve düşünülmeden kullanılan biçimlerinde yatar. Sorunun anlamlı bir yanıtını elde etmek için, anlamını önemli bir şekilde açıklığa kavuşturmamız gerekir.

"İlgili" sözcüğüyle başlayayım. Son birkaç yılda alışıldık biçimde kullanıldığı şekliyle ilgili, bir kurum ya da eylem tarzı ile bir değerler ya da amaçlar bütünü arasındaki ilişkiyi ifade eder. Değiştirici ifade olan "ve eğer öyleyse, neyle?" sorusu, ilgili sözcüğünün alışılmış kullanımındaki temel belirsizliğe örtük biçimde işaret eder: Hangi değerler ya da amaçlar bütünü?

Farklı değerler ya da amaçlar bütünlerinin, insan durumunun önemli yönlerine ilişkin farklı bakış açıları temelinde, farklı toplumsal ya da tarihsel bağlamlarda vurgulandığını ya da izlendiğini biliyoruz. "İlgililik" sözcüğü için açık bir anlam varsayarsak, sorunun ortaya konuluş biçimi, İyi’nin doğası konusunda birbirimizle bir uzlaşmaya varıp varmadığımızı sorar. İstersek, insan eyleminin belirli yönlerinden kaynaklanan değer ve amaç tanımlarını, umarız insan durumuna ilişkin tutarlı bir görüşte birleştirilebilecek çeşitli insani değerlerden oluşan bir spektrum olarak kabul etmeye istekli olup olmadığımızı sormak olarak da anlaşılabilir.

"Az Çok"

Bütün bunların, birkaç yıl önce ortaya çıkan ve tüm entelektüel kurumların ilgililiklerini kanıtlamaları yönündeki kamu talepleri uygulaması dışında, matematikle ne ilgisi var? Bu soruyu ikna edici bir biçimde yanıtlamak için, "matematik" sözcüğüyle ne kastettiğimizi açıklığa kavuşturarak uygun temeli atmam gerekecek. Bu göreve geçmeden önce, matematik ile değerler arasındaki ilişki üzerine yapılacak her tartışma için ilginç ve önemli bir tarihsel örneğe dikkat çekmek isterim.

American Mathematical Monthly, cilt 83, sayı 4 (Nisan 1976)’dan izin alınarak yeniden basılmıştır.

Yaklaşık 2.300 yıldan biraz daha uzun bir süre önce, Atina’da yakından ilişkili bir tema üzerine çok ünlü bir ders verilmiştir. Bu, dünyanın en etkili filozofu olan Platon’un meşhur "İyi Üzerine Ders"idir ve Platon’a ait olup hakkında nesnel kanıt bulunan tek derstir (ya da dersler dizisidir).

Dinleyicileri arasında, o dönemde Platon Akademisi’nde bir öğrenci olan ve daha sonra Platon’un öğretilerini eleştiren Aristoteles de vardı. Aristoteles, Platon’un dersinin (ya da derslerinin) içeriğine ilişkin tanıklığını, üç kitaptan oluşan ve On the Good adlı bir incelemede kayda geçirmiştir; bu eserden hiçbir parça günümüze ulaşmamıştır, ancak Aristoteles’in öğrencilerinin yazılarında özetlenmiştir:

"Birçok kişi derse, zenginlik, sağlık, güç ya da her şeyden önce harika bir mutluluk gibi insani iyiliklerden bazılarını elde edecekleri düşüncesiyle katıldı. Ancak anlatım matematik, sayı, geometri ve astronomi ile ve 'Bir olarak alınan Sınır sınıfı İyi’dir' teziyle başladığında, şaşkınlık genel hâle geldi. Bir kısmı konuya ilgisini yitirdi, diğerleri onu eleştirdi."

Platon’un şöyle dediği aktarılır: "Her şeyin temelleri Bir ve Belirsiz Büyüklük, ya da 'Az çok'tur." Günümüz terimleriyle ifade edersek, söylediği şey şudur: Fiziksel ve ahlaki düzenlerin (ki bunları birbirinden ayırmamıştır) temelleri olan archai, tam sayılar ya da doğal sayılar dizisinin ve sürekliliğin meydana geldiği süreçlerdir. Dolayısıyla Aristoteles’in, Platon’un en temel Yazılmamış Öğretisi’ne ilişkin aktarımı, Platon’un İyi’nin temelleri ile matematiğin temelleri arasındaki ilişki sorununu, ikisini özdeşleştirerek çözdüğüdür.

Platon’un, İyi’yi matematikle özdeşleştirerek değer sorununa getirdiği çözüm, günümüzde pek azımızın, özellikle de kamuoyu önünde, savunmaya istekli olacağı bir çözümdür. Aristoteles ve takipçilerinin Platon’un Yazılmamış Öğretisi’ne ilişkin aktarımları, felsefe tarihinde kalıcı bir skandal hâline gelmiş ve geçen iki bin yıl boyunca, Platon gibi saygın bir kişinin bu kadar uçarı inançlara sahip olup olamayacağı konusunda günümüze kadar süren akademik tartışmalar üretmiştir.

Psikolojik sonuçların bazıları görünüşe göre o kadar sarsıcıdır ki, Princeton’daki Institute for Advanced Study’den Profesör Harold Cherniss’in önderlik ettiği klasikçiler arasındaki aşırı bir kanat, sorunu ilkesel olarak ortadan kaldırmaya çalışmış; Aristoteles’in tüm felsefi selefleri ve çağdaşları hakkında taraflı ve yanıltıcı bir aktarıcı olduğunu ve dolayısıyla tanıklığının göz ardı edilmesi gerektiğini ilan etmiştir. W. D. Ross’un Plato's Theory of Ideas adlı kitabındaki görüşler gibi yaklaşımlara ise daha fazla ağırlık (ve kanıtların gücü) atfedilebilir; buna göre Platon, Aristoteles’in ona atfettiği görüşleri gerçekten ileri sürmüştür.

Görünüşe göre, Platon’un Atina’da daha sonraki yükseköğretim ve araştırma kurumlarının prototipi olarak kurduğu Akademi’de, Platon’un matematiğin merkezi rolüne yaptığı vurgu ile Elea’lı Zenon gibi mantık eleştirmenlerinin ortaya koyduğu yeni mantıksal titizlik standartlarının etkisi altında, Yunan matematiğinin temel konularının (geometri ve doğal sayılar) ilk kez ilk ilkelerden hareketle gerekçeli ve derinlemesine bir mantıksal gelişimin konusu hâline getirildiği açıktır.

Platon’un kendisi matematiğin büyük bir hamisi olmakla birlikte, bir matematikçi değildi. Ancak Akademi, Theodorus, Theaetetus ve hepsinden önemlisi, Yunan matematiksel astronomisinin temel araçlarını geliştiren ve aynı zamanda ölçülemez büyüklüklerin mantıksal sorunlarını, modern gerçek sayılar kuramının benzerini geliştirerek çözen Eudoxus gibi döneminin en büyük matematikçilerinden bazılarının çalışmalarını desteklemiş ve teşvik etmiştir.

Kozmosun Platoncu Tasavvuru

Platon, geç dönem diyaloglarından biri olan Timaeus’ta, matematiksel ilkelere dayanan bir kozmos kavramını yazılı olarak ifade etmiştir. Bu kavram, matematiğin rolünü göksel cisimlerle sınırlama ve yeryüzü düzeyinde ise esasen bir olgu ya da türün tekil örneklerini sayma ile kısıtlama eğiliminde olan Aristoteles tarafından kesin biçimde reddedilmiştir.

Platon’un ölümünden ve doğrudan öğrencilerinin ardından, matematiksel ilkeler üzerine örgütlenmiş evrene dair bu görkemli Platoncu tasavvurun klasik dünyada ya da Orta Çağ’da görece az etkisi olmuştur. İzleyen çağların Platoncuları ya da Yeni Platoncuları (Plotinus, Porphyry, Iamblichus, Proclus ve diğerleri) Roma İmparatorluğu döneminde büyük bir entelektüel etki yaratmış ve gerçekten de kendi zamanlarından bu yana gelişen her tür yüksek mistisizmin başlıca kaynağı gibi görünmüşlerdir; ancak Platon’un düşüncesindeki mistik unsurların neredeyse tamamını benimserken, onun matematiğe duyduğu ilgiden görece çok azını devralmışlardır.

Bilim tarihinin büyük tarihçisi Alexandre Koyré’nin de işaret ettiği gibi, Platon’un düşünü doğrulamak ve onu somut bir sonuca ulaştırmak için 16. ve 17. yüzyılların büyük Bilimsel Devrimi gerekmiştir. Modern bilimsel dünya görüşünün en büyük başarısının merkezinde, Galileo ve Kepler’in Kopernikçi tasavvuru temellendirme yönündeki başlangıç girişimlerinin doruk noktası olarak, Isaac Newton tarafından tamamen başarılı bir matematiksel fizik ve astronominin geliştirilmesi yer alır. Newtoncu matematiksel astronomi, gerçekleşmiş bir Platoncu kozmos tasavvurunun modeli olmuştur.

Matematiğin İyi ile özdeş olduğu yönündeki Platon’un açık öğretisine inananların sayısı az olsa da, entelektüel dünyamızın en etkin ve canlı dallarının birçoğu, matematiksel düzene ilişkin büyük Platoncu tasavvurlar tarafından hâlâ yönlendirilmektedir. Matematiksel fizikte, Newtoncu kozmosun yerini, genel görelilik kuramının daha da yetkin bir Platoncu tasavvuru almıştır.

Matematiğin kendisi de, son yüz yıl boyunca, Cantor’un tamamlanmış sonsuzluk kuramına, yani sonsuz büyüklüklerin kesin ve gerekçeli kuramına ilişkin büyük Platoncu tasavvuruyla hem beslenmiş hem de kışkırtılmış, sevindirilmiş ve işkence görmüştür. Modern fiziğin ana hattı, 1920’lerin sonlarında kuantum mekaniğinin devrimci gelişimi üzerinden ilerlemiş ve sonuçları klasik fizik sezgileriyle ifade edilemeyen yeni ve kesin bir matematiksel biçimcilik ortaya koymuştur. Bunun sonuçlarından biri, kimyanın temel ilkelerinin köklü biçimde matematikleştirilmesi olmuştur.

Daha yakın on yıllarda, moleküler biyolojinin, biyolojik kalıtımın temel düzeneklerini DNA molekülünün geometrisi ve amino asit dizilerinin kombinatoriği üzerine kurarak geliştiğini gördük. Tüm fiziksel kozmosun kökeni ve belki de yok oluşu için Platoncu düzene ilişkin yeni kozmolojik tasavvurlar formüle edilmiştir. Daha spekülatif bir düzeyde ise, René Thom ve öğrencileri tarafından gelişimsel biyolojinin matematikleştirilmesi için ortaya konan, felaketler kuramının düşündürücü Platoncu programı ile karşılaşırız.

Son bir örnek olarak, Fransa’da beşerî ve toplumsal disiplinlerde yapısalcılık olarak adlandırılan hareketi ve dilbilimin yakın tarihini anmak gerekir; bu yaklaşım, insan eylemi ve anlamının tüm çeşitli alanlarının altında yatan biçimsel matematiksel yapılar bulunduğunu savunur.

“Matematik” İçin Dört Farklı Anlam

Batı düşüncesindeki Platoncu geleneğin ve bunun modern bilimin kritik alanlarının matematiksel temelleri ve tasavvurlarıyla yoğrulmasıyla ilişkisini tartışırken, “matematik” sözcüğüyle neyi kastettiğimizi açıklığa kavuşturmaya yeterince dikkat etmeden ilerledik. Bu eksikliği gidermek için, Platon’dan ziyade Aristoteles’in tarzına daha yakın bir dikkatle ilerlemem gerekecek.

“Matematik” teriminin temel kullanımında gerçekten de dört kökten farklı anlam bulunduğuna inanıyorum ve bunu ayrıntılı biçimde göstermeyi öneriyorum. Dolayısıyla, matematikten basitçe söz etmek yerine, Matematik I, Matematik II, Matematik III ve Matematik IV’ten söz etmeyi öneriyorum.

Matematik I: Toplumsal Yarar

Matematik I, tüm uygar toplumlarda ve özellikle ABD’nin başlıca örnek olduğu ileri sanayi toplumlarında, insanlığın gündelik yaşamına gömülü matematiksel uygulamayı ifade eder.

Bu tür matematik, toplumumuzda neredeyse tüm insanların yaşam sürecinin bir parçası olan sayma, ölçme ve hesaplamaların yanı sıra, paranın kullanılmaya başlandığı en ilkel aşamadan itibaren her ekonomik sistemin örgütlenmesinin temelini oluşturan hesaplama ve ölçüm sistemlerini kapsar.

Daha üst düzeylerinde Matematik I; muhasebe, mühendislik ve mimarlık gibi etkinliklerde matematiksel tekniklerin kullanımını, istatistiksel verilerin toplanmasını, oyların sayılmasını ve son yıllarda elektronik bilgisayarların kullanımıyla toplumsal uygulamada meydana gelen muazzam dönüşümü de içerir.

Matematik I açısından önem ya da değer ölçütü toplumsal yarardır ve (toplumsal yarar kavramı özellikle bireysel yararla ilişkisi bakımından tamamen saydam olmasa da) bu değeri, belirli toplumsal çaba hedeflerine yönelik olarak kullanılan matematiksel teknik ya da uygulamaların etkililiği veya verimliliği cinsinden değerlendirme eğilimindeyiz. Bu tür etkililik, çoğu zaman entelektüel bakımdan özellikle ilginç olmayan, görece standartlaştırılmış tekniklerin kullanımıyla elde edilir.

Matematik II: Matematik Dışı Problemlerin Çözümü

Matematik II, bilinen matematiksel teknik ve kavramların, diğer entelektüel disiplinlerdeki problemleri formüle etmek ve çözmek için kullanılmasını ifade eder.

Gündelik uygulama bakımından bu, matematiğin fizik bilimlerindeki temel işlevi olup, daha yakın dönemde biyolojik ve toplumsal bilimlerde de bu rolü üstlenmiştir.

Bu uygulamalarda çözülmesi gereken entelektüel güçlükler ve uygulanması gereken yaratıcılık çoğu zaman oldukça yüksek düzeyde olsa da, bu çerçeve içindeki önem ölçütü, sonucun uygulandığı disiplin için taşıdığı yarardır; sonuca ulaşılırken kullanılan süreçlerin içsel ilginçliği ve verimliliği değil.

Matematik II, birçok entelektüel disiplinin giderek daha geniş bölümlerini kapsayan ve bazen bu disiplinlerin daha geleneksel uygulayıcılarını umutsuzluğa sürükleyen, sürekli genişleyen bir entelektüel etkinlik alanını temsil eder.

Daha az bilinen bir örnek olarak, tarih alanında cliometry ya da prosopography gibi adlarla bilinen, matematiksel ya da istatistiksel tekniklerin uygulanmasına değinmek isterim; bu yaklaşımlar, belirli bir tarihsel dönemdeki toplumsal ya da ekonomik grupların yaşam örüntülerine ilişkin verilerin ayrıntılı analizi yoluyla tarihsel eğilimler hakkında daha nesnel ya da daha doğru bilgi elde etmeyi amaçlar.

Matematik II kapsamındaki matematiksel etkinliğin önemi, uygulandığı matematik dışı disiplinin entelektüel problemlerinin çözümündeki verimliliği olduğundan, değeri de bu disiplinin kendi terimleriyle taşıdığı önemle bağlantılıdır.

Matematik III: Yaratıcı Bir Sanat

Matematik III ile genellikle matematiksel araştırma olarak adlandırılan alanı, yani çeşitli matematik disiplinlerinin kavramlarının, yöntemlerinin ve problemlerinin incelenmesini kastediyorum.

Tarihsel olarak bunlar, iki bin yılı aşkın bir süre boyunca, geometrinin klasik problemlerinden, sayı kuramından, cebirsel denklemlerin çözümünden, matematiksel fiziğin diferansiyel denklemlerinin çözümünden ve matematiksel akıl yürütmenin biçimsel yöntemlerinin incelenmesinden gelişmiştir.

Bu temel birikimden doğmakla birlikte, hem daha eski alanların problemlerini çözmedeki güçleri hem de daha yeni yönlerde önemli içgörüler üretmedeki verimlilikleri sayesinde, temel matematiksel gelişmelerin yeni üretici odakları hâline gelen son derece canlı yeni matematik disiplinleri ortaya çıkmıştır.

Bunların en önemli dört örneği grup kuramı, bir ya da birkaç karmaşık değişkenli analitik fonksiyonlar, fonksiyonel analiz ve cebirsel ile diferansiyel topolojidir.

Açıkça belirtmek isterim ki, Matematik III ile Matematik II arasındaki ayrım, bazen saf ve uygulamalı matematik arasında yapılan kaba ayrımla aynı değildir. Uygulamalı matematiğin en nitelikli örneklerinde yapılan çalışmaların çoğu Matematik III kapsamına girer; çünkü ayırt edici ölçüt, matematik uygulayıcısının matematiksel incelemenin kavram ve yöntemleriyle kendi başlarına ciddi biçimde ilgilenip ilgilenmediği ya da esas olarak belirli bir uygulamanın sonucuna mı odaklandığıdır.

Matematik III, matematikçilerin kendilerinin “gerçek matematik” olarak adlandırdıkları şeyi ifade eder.

Matematik III için önem ölçütü, ister saf ister uygulamalı olsun tüm bileşenleri açısından, matematiksel etkinliklerin kendi alt disiplinlerindeki çözülmemiş problemleri çözmedeki etkililiği, kavram ve yöntem araçlarının gücünü ve verimliliğini artırması ve hesaplamalar ile ispatların mantıksal yapısını berraklaştırması gibi entelektüel ölçütlerdir.

Hadamard ve Poincaré gibi birçok büyük matematikçinin ayrıntılı biçimde betimlediği üzere, bu entelektüel disiplinin en üst düzeydeki icrası, verilen problem ve kavramların nesnel malzemesi üzerinde, buluşsal sıçramalar ve sezgiler aracılığıyla çalışan yaratıcı bir sanat biçimini alır.

Zihnin bu özgür üretimleri (Einstein’ın sevdiği bir ifadeyi kullanacak olursak), disiplinin durumunu somut biçimde dönüştürmedeki ve problemlerini çözmedeki etkililikleriyle yargılanır. En sıkı çözümleme ve eleştiriye tabidirler.

En üst düzeydeki uygulayıcılar, ilerleyecekleri yolu, en güvenli yolun ihtiyatlı analizine göre değil; bazen estetik terimlerle ifade edilen, bir matematik alanının belirli bir durumunun henüz geliştirilmemiş potansiyellerine dair dile getirilmeyen sezgisel bir kavrayışa göre belirlerler.

Matematik IV: İnsan Bilgisinin Nihai Biçimi

Buraya kadar her şey yolunda. Peki ya Matematik IV?

Gerçekten de, tanıdığım birçok matematikçinin, herhangi bir kategorinin matematiksel araştırmanın somut pratiğinin “üstünde” ya da “ötesinde” bir yere konulması fikrine içerleyebileceğinden kuşkulanıyorum. Yine de matematiğin doğasının tam bir betimi için gerekli olduğuna inandığım böyle bir kategoriyi ileri sürmeyi öneriyorum.

Matematik IV, önceki üç alt bölümden, matematikle istihdam edilen nüfusun herhangi bir kesimi için tam zamanlı bir etkinlik olmaması bakımından ayrılır; buna karşın, diğer üç kategorinin itkisi ve canlılığının büyük bir unsurunu ve aynı zamanda aralarındaki birliğin de önemli bir bölümünü temsil eder.

Matematik IV ile, matematiğin tüm insan bilgisinin ve pratiğinin nihai ve saydam biçimi olduğuna dair tasavvuru kastediyorum. Burada, “matematik” sözcüğünün anlamına ilişkin en radikal soruya geliyoruz.

Klasik Yunan’da (ve rivayete göre Pisagorcular arasında), “matematik” sözcüğü, özgün anlamı olan “öğretilebilen şey” olarak ortaya çıkmıştır. Yunanistan’da klasik çağdan Rönesans’a kadar, matematik, Öklid’in Elementler’inde ve Arşimet’in yazılarında cisimleşen tümdengelimli geometrinin büyük yapısıyla özdeşleştirilmiştir.

ve 17. yüzyıllarda ise, yeni analitik yöntemler ve diferansiyel ile integral hesabın teknikleriyle özdeş hâle gelmiştir. Ancak 17. yüzyıldan itibaren, Leibniz ve Descartes gibi entelektüel yenilikçilerin zihinlerinde matematiğe dair daha geniş bir tasavvur doğmuştur: matematiğin entelektüel düzenin tüm bilimi, örüntü ve yapı bilimi olduğu tasavvuru. Dünyaya ilişkin Platoncu tasavvurun yaşamsal itkisi, en kalıcı biçimiyle işte bu formda yeniden doğmuştur.

Bu yeni matematik tasavvuru, izleyen yüzyıllarda birçok önemli ürün vermiştir. En belirgin özelliği, insan deneyiminin bir alanında (çoğu zaman klasik matematikte görece teknik bir alanda) anlamlı biçimleri saptama ve çözümleme yeteneği, ardından elde edilen içgörüyü insan düşüncesi ve eyleminin görünüşte ilişkisiz bağlamlarını aydınlatmak için uygulayabilmesidir.

İlk örnek olarak, grup kuramının gelişimini ve uygulanmasını ele alalım. Simetriye ilişkin temel cebirsel kavram, açık biçimiyle, 18. yüzyılın sonları ile 19. yüzyılın başlarında Lagrange ve Galois’nın çalışmalarında, cebirsel denklemlerin köklerinin incelenmesinin bir sonucu olarak ortaya çıkmıştır.

yüzyıl boyunca grup kuramı, dönemin gelişmekte olan matematiğinin diğer birçok merkezi temasıyla iç içe geçmiş, matematiksel gelişimin önde gelen konularından biri hâline gelmiştir: karmaşık değişkenli analitik fonksiyonlar, geometrinin temelleri, matris kuramı ve adi ile kısmi diferansiyel denklemlerin incelenmesi.

Grup kuramının kendisi, yeni matematiksel gelişmelerin merkezi bir yapı taşı ve başlangıç noktası hâline gelmiş ve günümüze kadar da bu konumunu korumuştur. Bununla birlikte, kristalografinin temeli olarak en erken kullanımlarından, yüksek enerjili fiziğin temel parçacıklarının betimlenmesinin dayanağı olarak bugünkü rolüne kadar, 20. yüzyılda fiziksel dünyanın matematiksel betimlemesinin de temel kavramsal ve biçimsel aracı olmuştur.

Daha uç bir türden başka bir örnek olarak, 20. yüzyılın ilk üç on yılında matematiksel mantığın ve matematiğin temellerinin gelişiminin sonuçlarını ele alalım.

1930’ların başında Kurt Gödel, matematik dünyasının şaşkınlığına yol açarak, ünlü Alman matematikçi Hilbert’in, 19. yüzyıl klasik matematiğinin çerçevesini, biçimsel bir sistem olarak tutarlılığını göstererek temellendirme programının gerçekleştirilemeyeceğini kanıtlamıştır.

Bu sonuca ulaşabilmek için Gödel, Hilbert tarafından konulan kısıtlamalar çerçevesinde matematiksel bir ispatın ne anlama geldiğine ilişkin biçimsel yapının kesin bir tanımını vermek zorundaydı. Bunu yaparken, kısa bir süre sonra özyinelemeli fonksiyonlar kuramı adı verilen bir kuram oluşturdu.

Tarihsel bir sonuç olarak en dikkat çekici olan — ancak o dönemde Turing gibi ileri görüşlü matematikçiler tarafından zaten fark edilmiş olan — şey, bu şekilde geliştirilen kuramın dijital bilgisayar gibi makinelerin neleri başarabileceğinin temel kuramı olmasıydı. Gerçekten de dijital bilgisayarın kuramsal gelişimi, Gödel’in çalışmasıyla atılan bu temele dayanmıştır ve hâlâ dayanmaktadır.

“Örüntünün Önemi”

Matematiğin anlamlı biçimin bilimi olduğu yönündeki bu daha geniş kavram, matematiksel araştırmaların tüm çeşitli somut biçimlerdeki parlak başarıları için arka planı ve dünya görüşünü sağlamıştır; ancak aynı zamanda, matematiksel yöntemlerin, matematiğin en dar anlamıyla sınırlarının ötesindeki çok çeşitli entelektüel disiplinlere uygulanmasındaki gücüne duyulan inancın da nihai gerekçesi olmuştur.

Bu kavramın kapsadığı genişlik içinde, dünya; nihai çözümlemede yalnızca bir yandan bireysel keşfedicinin oluşturucu sezgisi ya da oluşturucu hayal gücü ile, öte yandan sezgisel içgörü ya da hayal gücünün sonuçlarının nesnel olarak sınanması arasındaki diyalektik aracılığıyla keşfedilebilen, biçime ilişkin nesnel yasalar tarafından yönetiliyor olarak görülür.

Bu diyalektik işlediğinde — ki şaşırtıcı derecede sık ve şaşırtıcı bir tutarlılıkla işler — bireysel yaratıcılığı ve kendiliğindenliği bastırmak yerine güçlendiren bir düzen kavramına ilişkin bir deneyim elde edilir.

Görünüşe göre bu deneyim, Platon’un özgün vizyonunun arkasında yer almıştır; ve düzen ile kendiliğindenlik ve yaratıcılığın bu tür bir birleşiminde, matematikçi olmayacak olanlar için matematiğin, matematiğin teknik yararlılığını önemli ölçüde aşan bir eğitsel değerinin bulunması pekâlâ mümkündür.

Bu türden bir düşünce, Anglo-Amerikan filozof Alfred North Whitehead tarafından dile getirilmiştir. Whitehead, son denemelerinden birinde, Library of Living Philosophers dizisinde kendisine adanan cilt için yazdığı ve Mathematics and the Good başlığını taşıyan entelektüel bir inanç bildirgesinde, Platon’un İyi üzerine verdiği dersin kendi yeniden yazımını ortaya koymuştur.

Whitehead şöyle yazmıştır:

[Alıntının Başlangıcı]

Örüntünün önemine ilişkin düşünce, uygarlık kadar eskidir. Her sanat, örüntünün incelenmesine dayanır.

Toplumsal sistemlerin bütünlüğü, davranış örüntülerinin sürdürülmesine bağlıdır ve uygarlıkta ilerleme, bu tür davranış örüntülerinin talihli biçimde değiştirilmesine bağlıdır.

Dolayısıyla, örüntülerin doğal oluşlara nüfuz etmesi ve bu örüntülerin istikrarı ile bu örüntülerin değiştirilmesi, İyi’nin gerçekleşmesi için gerekli koşuldur.

Matematik, örüntüyü ve örüntüler arasındaki ilişkileri anlamak için en güçlü tekniktir.

Burada, Platon’un dersinin konusuna ilişkin temel gerekçeye ulaşırız. Konu alanının enginliği göz önüne alındığında, matematik — hatta modern matematik bile — henüz bebeklik çağında olan bir bilimdir.

Uygarlık ilerlemeye devam ederse, önümüzdeki iki bin yıl içinde insan düşüncesindeki baskın yenilik, matematiksel anlayışın egemenliği olacaktır.

[Alıntının Sonu]

Whitehead’in sözlerinde ifade edilen Platoncu vizyonun bu yeni ve gelişkin versiyonuna, ben Matematik IV adını verdim.

Matematik ve Değer İlişkisi

Yukarıda betimlediğim matematiğin varoluşunun dört kipinin tümü de çok eski kökenlere sahiptir. Kuşkusuz Matematik I ve II, sayısal hesaplama ve cebirsel işlemlerin hem ticari işlemlere hem de dinsel amaçlı gökyüzü haritalandırmasına uygulanarak dikkate değer bir yetkinlik düzeyine ulaştığı Babil uygarlığında açıkça mevcuttu.

Antik Yunan’da ise, daha önce de belirtildiği gibi, Matematik III ve IV tam gelişmiş, olgun bir biçimde ortaya çıktı. Doğaları gereği, matematiksel etkinlik ve bilinçliliğin bu dört biçimi karşılıklı olarak özerktir; çünkü gerçekçi bir anlamda, bu dördünden hiçbiri diğerlerini içine alamaz. Bu türden tüm içine alma girişimleri, genellikle, içine alınması varsayılan matematik yönünün etkisini ya da etkinliğini yok etme çabasını temsil eder. Öte yandan, matematiksel girişimin tüm yönleri gelişip serpilirken, aralarındaki karşılıklı etkileşim genellikle yoğundur. Modern zamanlarda, yalnızca birlikte gelişip serpilmişlerdir.

Toplumsal etki açısından bakıldığında, matematiğin gündelik yaşamda ve toplumsal yaşamın teknik yönlerinde bir araç olarak kullanılması, matematiğin çok çeşitli entelektüel disiplinlerde bir araç olarak uygulanmasını teşvik etme eğilimindedir. Buna karşılık, ikincisi matematiksel araştırmaların gelişimini teşvik eder ve araştırmaların yeni kavramlar ve ilkeler üretmedeki başarısı, matematiksel bilginin aşkın idealini ortaya koyar. Entelektüel etki açısından ise, güçlerin örüntüsü genellikle ters yönde işler. Matematiksel bilginin aşkın ideali, matematiksel araştırma dürtüsüne anlam ve güç kazandırır; bu da sırasıyla, matematiğin önce diğer entelektüel alanlarda, ardından bu alanlardaki başarıları aracılığıyla insanlığın pratik yaşamında uygulanması için yeni araçlar ve dürtüler sağlar.

Bu tabloya dayanarak, çağdaş tarihsel bağlamımızda ve kendi toplumumuzda matematik ile değer arasındaki ilişki hakkında ne söyleyebiliriz? Tam yanıt hem heyecan verici hem de kaygı uyandırıcıdır. Bir yandan, matematiğin ve matematikleştirilmiş bilimlerin son birkaç on yıldaki muazzam entelektüel canlılığını, kendi sorunlarını çözmedeki ve hem teknik hem de pratik sorunların çözümü için yeni araçlar geliştirmedeki olağanüstü başarılarını görüyoruz. Öte yandan, toplumun matematikleştirilmesi büyük adımlarla sürerken, toplumumuzdaki insan kitlesinin gündelik bilinci açısından bu süreç —

(lütfen 26. sayfaya bakınız)

T. P. Finn, Indianapolis, Ind.: Maximdij 764; NumbIe 764
Jean Robbins, Pasadena, Calif.: Maximdij 764; NumbIe 764

Haziran 1976 tarihli COMPUTERS and PEOPLE
Sayfa 27

Bilgisayar Grafikleri ve Sanat

Matematiğin Önemi