Hava Trafik Kontrol Sistemlerinin Matematiksel Modelleri

Peter Kugel
Teknik Operasyonlar
Burlington, Mass.

Sistemler büyüdükçe ve daha karmaşık hale geldikçe, onları analiz etme işi giderek zorlaşır. Tatmin edici bir analiz genellikle, yardımsız insan hesaplayıcının imkânlarını çok aşan bir matematiksel model gerektirir. Bu gibi durumlarda, analizi mümkün kılan tek şey yüksek hızlı dijital bilgisayarların kullanımıdır.

Buna bir örnek hava trafik kontrol sistemidir. COMPUTERS AND AUTOMATION dergisinin Ağustos sayısında Karl E. Korn, bu tür uygulamalarda bilgisayarların yararlılığı üzerine oldukça yerinde yorumlarda bulunmuştur. Ne yazık ki, görünüşte son derece makul, gerçekçi ve doğal olan, ancak ciddi biçimde kusurlu olan belirli bir model türünü de önermiştir. Bu makalede bu tür modelin kusurlarını ele almak ve tercih edilir görünen bir alternatifi önermek istiyorum.

Zaman Sıralı Modeller

Önerilen model, zaman sıralı olarak adlandıracağımız bir türdendir. Bu düzene göre, modellenen sistemin bir başlangıç zamanındaki durumu bilgisayara başlangıç olarak verilir. Bilgisayar, zaman T’deki durumdan (burada T herhangi bir zamandır) sistemin T + Δt anındaki durumunu hesaplamasına olanak tanıyan bir dizi talimat (bir program) içerir.

Örneğin, sistemde T zamanında belirli bir 707 jetinin Topeka üzerinde, saatte 400 mil hızla kuzeye doğru gittiğini ve rüzgârın saatte 100 mil hızla güneye doğru estiğini varsayalım; bilgisayar, T + 2 dakika anındaki konumunu Topeka’nın on mil kuzeyi olarak hesaplar ((400 − 100) × 2 / 60).

Bu tür hesaplamaları kullanarak (muhtemelen biraz daha karmaşık olanlarını), bilgisayar hava sahasındaki durumun her iki dakikada bir bir dizi “resmini” üretebilir. (Örneğimizde Δt = 2 dakika aldık, ancak herhangi bir değer seçebilirdik.) Verilen başlangıç zamanından başlayarak, iki dakikalık artışlar eklemeye ve model önceden belirlenmiş bir durma zamanına ulaşana kadar resimleri hesaplamaya devam eder.

Böyle bir anlık görüntü dizisi, gerçek dünyada ne olacağının bir “filmi”dir. Analiz edilen koşullar altında modeli belirli bir süre çalıştırarak üretilen bu filmlerden, koşulların sistem üzerindeki etkisini öngörebiliriz. Şu tür sorulara yanıt verebiliriz:

Belirli bir donanım parçasının eklenmesi kaç çatışmayı önleyebilir?
Uçaklar arasındaki ayrımı artırmak ortalama uçuş süresini ne kadar artırır?
Trafik miktarının o zamana kadar iki katına çıkacağını varsayarsak, mevcut sistem 1975’te nasıl olacaktır?

Bunu, bilgisayarın ürettiği filme bakarak yaparız. Bu kadar makul görünen bir düzen nasıl eleştirilebilir? Gerçek dünyayı modellemenin en doğru yolu bu değil midir?

Elbette bu düzenin amacı tamamen sağlamdır. Değişen koşullar altında sistemin güvenliğini ve verimliliğini analiz edebilme yeteneği önemlidir ve bilgisayar modeli gerçekten de bu tür analizleri gerçekleştirmek için en iyi yoldur. Ancak, zaman sıralı modeller bu amaç için en iyi tür bilgisayar modeli olmaktan uzaktır.

Modellerin Amacı

Bunun nasıl olabileceğini anlamak için, modelin hangi amaçla tasarlandığını akılda tutmak gerekir. Sezgisel olarak beklenebileceğinin aksine, gerçekçilik nadiren — hatta neredeyse hiç — bir matematiksel modelin temel amacı değildir. Bu durumda modelin amacı, sistem tasarım kavramlarını sınamaktır ve bu, gerçeği kölece taklit ederek en iyi şekilde yapılmaz.

(Bir uçak kanadının dayanımını sınamak için üzerine kum torbaları yüklenebilir. Bu, gerçekten bir uçağı indirmeye çalışmaktan çok daha verimli bir test olabilir, ancak kimse bunun daha gerçekçi olduğunu iddia etmez. Uçak kanatları kum torbası taşımak için tasarlanmamıştır.)

İlgili Yönlerde Taklit

Genel olarak istenen şey, modellenen sistemin bütünüyle bir taklidi değil, sistemin ilgili yönlerde bir taklididir. Ancak bu, her yönde anlamına gelmez. Gerçekten de, bir sistemi her yönden modelleme arzusu, onu bazı ilgili yönlerden modelleyebilme yeteneğiyle sıklıkla çatışır.

Örneğin, yirminci yüzyılın başlarında insanlar, ilgilendikleri tek ilgili yön uçmak olduğu halde, kuşları taklit etmeye büyük çaba harcadılar. O dönemde en çok tercih edilen düzen, onları olabildiğince çok yönden taklit etmekti. İnsanlar devasa kanatlar yaptılar ve bunları çırptılar; hatta bazıları kanatlara tüy yapıştırmaya kadar gitti. Wright Kardeşler ise sabit kanatlar (tüysüz) kullandılar ve bunun sonucunda kuşları çok az yönden taklit eden bir düzene ulaştılar. Ancak bunlardan biri önemliydi; Wright Kardeşler’in aracı uçabiliyordu.

Matematiksel modelleme alanında da, uçuşta sabit kanat yaklaşımına ya da kanat testinde kum torbası yaklaşımına benzeyen, çoğu yönden gerçeği kötü taklit eden, ancak önemli olan yönlerde olağanüstü iyi taklit eden düzenler vardır. Bu düzenler, gerçekçi testlerle ilgilenen sıradan kişinin sezgilerini sıklıkla altüst eder, ancak zaman sıralı modellere kıyasla oldukça çarpıcı bir avantaja sahiptirler: amaçlandıkları işi yaparlar. Bu tür modellere “olay modelleri” denir ve bu makalenin amacı bu tür modellerin genel niteliğini tanımlamak ve başlıca avantajlarını belirtmektir.

Zaman Sıralı Modellerin Yetersizliği

Ancak bu modelleri tanımlamadan önce, zaman sıralı modellerin çoğu amaç için neden uygun olmadığını kısaca ele alalım. Bu tür modellerde en az üç kusur vardır: hantal olmaları, hatalı olmaları ve kullanışsız olmaları. Bu noktaları tek tek ele alalım.

(1) Zaman Sıralı Modeller Hantaldır

Çağdaş bilgisayarın inanılmaz derecede yüksek hızına değinerek başlamıştık. Tek bir işlemi şaşırtıcı derecede kısa bir sürede gerçekleştirebilir, ancak henüz hiçbir bilgisayar bir işlemi sıfır sürede yapacak şekilde tasarlanmamıştır. Bir probleme yeterince fazla sayıda tekil işlem verilirse, bu kısa süreler birikir.

Bu durum zaman sıralı modellerde olağanüstü bir hızla ortaya çıkar. Her zaman adımında bilgisayar, her uçağın konumunu, her uçağın bulunduğu yerdeki rüzgârın yönünü ve hızını ve benzeri unsurları belirlemek zorundadır. Her uçak yüzlerce hesaplama gerektirir ve yüzlerce uçak olabilir. Ve elbette sistemde başka öğeler de vardır.

50 uçaklı bir hava trafik kontrol sistemi için zaman sıralı bir modelin, gerçek zamanın 1/5’i hızında çalışacağı tahmin edilmiştir ve bu hıza bile ulaşabilmesi için modelin kapsamının oldukça sınırlı olması gerekir. Gerçek zamanın 1/5’i hızında çalışan bir model, bir günlük trafiği kopyalamak ya da modellemek için üç gün alır. Bu kötü değildir, ancak elbette bir gün için başarılı çalışan bir sistem mutlaka yeterli değildir. Bir sistemi kabul edilebilir saymadan önce çok daha fazla test gerekir. (Ne de olsa buradaki bir hata insan hayatına mal olabilir.) Böyle bir test süreci aylarca bilgisayar zamanı alabilir. Bu tür testlerin maliyeti ve zorluğu, bunun hava trafik kontrol sistemlerini analiz etmek için ideal yöntem olmadığı izlenimini verebilir.

Buna karşılık, insan hayatı kurtarmanın değerli olduğu, bu tür sistemleri sınamanın başka herhangi bir yönteminin daha pahalı olduğu ve bu modelin son derece doğru sonuçlar verdiği ileri sürülebilir.

(2) … ve Hatalıdır

Zaman sıralı bir model, her anda her uçağın doğru bir “tespitini” verdiğini iddia eder — en azından öyle görünür. Ne yazık ki, bu merhemin içinde iki sinek vardır. Biri “doğru” sözcüğünde, diğeri ise “her an” ifadesindedir.

Örneğin, modelimiz için doğru girdi verilerini belirleme sorunu vardır. İlgili uçakların hızlarını biliyoruz, ancak (bilseydik hoş olurdu ama) rüzgâr hızlarını ve diğer hava durumu bilgilerini bilmiyoruz. Ne yazık ki hava durumu, hava raporlama istasyonları dışında, herhangi bir zamanda herhangi bir yerde genellikle iyi bilinmez.

Elbette hava durumunu tahmin edebiliriz. Oldukça makul tahminler yapabiliriz ve bu muhtemelen yeterli olur — bir yerdeki hatalar başka bir yerdeki hatalarla dengelenir. Ancak yeterli ayrıntıya sahip girdilerin olmaması insanı düşündürüyor. Model, son derece doğru sonuçlar verir — hatta girdilerden daha doğru. Rüzgâr hızını tahmin ettik, ancak bu rüzgârların sonucu olan uçak konumları tam olarak veriliyor ve bilgisayarda tüm ürkütücü ayrıntılarıyla saklanıyor.

Bu durum, kendisine iki basamaklı bazı veriler verilen bir lise fizik öğrencisinin (daha basit bir matematiksel model üzerinde çalışırken) on beş basamaklı bir sonuç üretmesine benzemiyor mu? (Bir fark var: fizik öğrencisi yalnızca kendi zamanını boşa harcar.)

İkinci bir güçlük, uçakların konumlarını yalnızca zamanın sabit noktalarında biliyor olmamızdır. Zaman sıralı modeller, düzenli aralıklarla gerçekleşen ya da sabit bir süre gerektirdikten sonra tekrarlanan olayları modelleme konusunda özellikle yetersizdir.

Örneğin, bir uçak, her tam turu beş dakika süren geniş bir dairesel bekleme düzeninde tutuluyorsa ve model de tesadüfen beş dakikalık bir zaman aralığında çalışıyorsa, uçak modele göre yerinde duruyor gibi görünecektir. Bu, modeli, hava sahasının çok küçük bir bölümünü işgal ettiği için ideal bir bekleme düzeni olarak etkileyebilir. Başka bekleme düzenleri bununla çakışsa bile, model bu gerçeğin farkında olmadan devam edecektir.

Olaylar döngüsel olmasa bile ya da bu güçlüğü aşmak için modelin zaman aralığı düzenli olarak değiştirilse bile, uçakların aralıklar arasında birbirleriyle etkileşime girmesi (hatta çarpışması) olasılığı yine de ortaya çıkar. Bilgisayar modeli bizi bu durumdan haberdar etmez.

Aylarca pahalı bilgisayar zamanı harcayarak, (modelin görünen gerçekçiliğine rağmen) hatalı olan veriler elde etmiş oluruz. Neyse ki, bir iyi nokta vardır: modelin sonuçları, ne kadar hatalı olsalar da, muhtemelen bizi yanlış kararlara götürmez. Bunun nedeni şudur:

(3) Sonuçlar Kullanışsızdır

Model bize ne tür sonuçlar verir? Model her zaman artışında bir “anlık görüntü” sunar. Bu son derece bilgilendirici bir şeydir. O anda her uçağın nerede olduğunu, hava trafik kontrol merkezlerinde neler olup bittiğini ve benzeri şeyleri söyler. Binlerce böyle anlık görüntü vardır. Bunlarla ne yapmamız beklenir?

Örneğin, iki uçağın birbirine hiç, diyelim ki, 50 milden daha fazla yaklaşıp yaklaşmadığını görmek isteyebiliriz. Bunu anlamak için, belirli bir anlık görüntüde her uçağın konumunu diğerlerinin her biriyle karşılaştırmamız gerekir; bu da anlık görüntü başına 1200’den fazla karşılaştırma (49 + 48 + … + 1) anlamına gelir ve bu da hava yollarının bu sineramasını işlemek için başka bir bilgisayar programını akla getirir. Sonuçları analiz etmeyi bitirdiğimizde, analiz edilen sistem pekâlâ eskiyip geçersiz hale gelmiş olabilir.

Olay Modelleri

Neyse ki, gerçek dünya durumlarını bilgisayarda modellemenin daha verimli, daha kullanışlı ve daha doğru bir yolu vardır. Ancak bu yöntem çarpıcı biçimde doğaya aykırıdır; tıpkı sabit kanatlı uçağın kendisi kadar aykırı. Bu tür modellere “olay modelleri” diyoruz.

Olay modelleri, her anda neler olup bittiğini izlemez. Yalnızca gerçekleşen önemli şeyleri (bunlara “olaylar” diyoruz) izlerler. Önem taşımayan şeyleri dışarıda bırakırlar. Pilotun ne zaman bir fincan kahve içtiğini kaydetmezler (zaman sıralı model de kaydetmez) ve bir uçağın, başka bir uçakla hiçbir şekilde etkileşemeyeceği bir yerdeyken konumunu da kaydetmezler.

Bilgisayar hangi şeylerin olay olup olmadığını nasıl anlayabilir? Yani, neyin önemli neyin önemsiz olduğunu nasıl ayırt eder?

Bir hava trafik kontrol sisteminin olay modelinde hava yolları, kontrol tesisleri ve uçaklar vardır. Bunların hepsine “donanım” diyelim. Bir olay, bir donanım parçası başka bir donanım parçasına girdiğinde ya da ondan çıktığında meydana gelir. Bir uçak belirli bir hava yolundan çıktığında bu bir olaydır. Bir kontrol merkeziyle telsiz üzerinden konuştuğunda, hem kendi telsizini hem de kontrol merkezinin telsizini işgal eder ve bu, iki donanım parçasını belirli bir süre boyunca meşgul eden bir olaydır. Dışarıdan bir uçak kontrol alanına girdiğinde bu bir olaydır. Olaylar başka olaylar üretir ve modelimizin esas olarak baktığı şeyler bunlardır. Model, olayların iki tür kaydını tutar: biri ne zaman gerçekleşecekleri (ya da gerçekleşmiş oldukları) temelinde, diğeri ise olaylar tarafından meşgul edilen donanım parçaları cinsinden.

Olay Kuyruğu

Gerçekleşmeyi bekleyen (ve gerçekleşme gecikmesinin artan sırasına göre düzenlenmiş) olaylar listesini olay kuyruğu olarak adlandırırız. Olaylar, olay kuyruğuna geldikleri sırayla ele alınır. Bir olayın sırası geldiğinde, meydana gelebilecek birkaç durum vardır.

Bu olay için gerekli olan donanım parçaları mevcut değilse, olay bu donanım kullanılabilir olana kadar ertelenir. (Yani aynı olay, olay kuyruğuna yeniden girer, ancak daha ileri bir zamana yerleştirilir.) Gerçek dünyadaki insanların aksine, bilgisayar, herhangi bir anda donanımı meşgul eden olayların ne kadar süreceğini bildiğinden, ertelenen olayın hangi zamanda gerçekleşeceğini kolayca hesaplayabilir.

Öte yandan, gerekli donanım boşsa, olay gerçekleşir. Belirli bir süre boyunca talep edilen donanımı meşgul eder ve iki yeni olay meydana gelebilir: kullanılan donanımın serbest bırakılması ve kullanan donanımın serbest bırakılması.

Son olarak, olayın yüksek öncelikli olması durumunda ortaya çıkacak üçüncü bir olasılık vardır (örneğin yakıtı bitmiş ve derhal inmek zorunda olan bir uçak). Bu durumda, gerekli donanım, başka bir olay tarafından kullanılıyor olsa bile, olay tarafından ele geçirilebilir.

İki Jet Uçağı Örneği

Aşağıdaki basitleştirilmiş durumu ele alalım. (Bu durum ile yaşayan ya da yaşamış herhangi bir durum arasındaki benzerlikler tamamen rastlantısaldır. Yalnızca gösterilen ilkeler gerçektir.) Wyoming, Casper’dan Utah, Salt Lake City’ye giden bir hava yoluna saat 3:00’te giren bir 707 jetimiz olduğunu varsayalım. Yolculuğuna başladığında, hava trafik kontrol sistemiyle bir "uçuş planı" dosyalamıştır. Bu plan, uçağın bulunmayı planladığı tüm noktaları ve bu noktalarda bulunmayı planladığı zamanları listelemektedir. Uçuş planına göre Salt Lake City’ye varış 3:40 olarak öngörülmüştür.

Bu arada, bu kez bir 880 olan başka bir jet, Denver, Colo.’dan gelmektedir ve Salt Lake City’ye 3:45’te ulaşmayı beklemektedir. Aralarında beş dakika olduğundan, test ettiğimiz belirli sistemde, Salt Lake City’den devam ederken aynı hava yolunu paylaşmalarına izin verileceğini varsayalım.

İki dakikalık aralıklarla çalışan zaman sıralı model, bu uçağın arada bulunacağı 22 konumu hesaplayacaktır (707’yi yavaşlatacağız, böylece beş dakika geç varacak). Biz o kadar hassas değiliz. Kayıtlara bakarak, bu belirli hava yolunun bir 707 tarafından genellikle kırk dakikada kat edildiğini biliyoruz. Bu sefer ne kadar sürecek? Zaman sıralı model rüzgâr hızları, sıcaklıklar (kanatlardaki buzlanma işleri yavaşlatabilir), görüş mesafesi ve benzeri şeyler hakkında tahminlerde bulunacaktır.

Biz de 707’mizin Salt Lake City’ye varmasının ne kadar süreceği konusunda bir tahmin yapacağız, ancak bunu mevcut bilgilere dayanarak yapacağız; böylece tahminimiz daha gerçekçi olacak ve bunu çok daha hızlı yapacağız. Kullanacağımız bilgi, bu hava yolundaki 707’lerin geçmişi olacaktır (ya da henüz mevcut değilse, istatistikçiler bu tür geçmişlerin nasıl öngörüleceğini bilirler). Belirli bir sayısının kırk dakika sürdüğünü, daha küçük bir sayının 39 ve 41 dakika aldığını, daha da küçük bir sayının 38 ve 42 dakika aldığını vb. bulacağız.

Şimdi, bu geçmişteki her uçak için bir kâğıt parçasını bir şapkanın içine koyup bunlardan birini rastgele seçmenin bilgisayardaki karşılığını yapıyoruz. Daha yaygın bir hızın seçilme olasılığı daha yüksektir, ancak seçimlerimiz daha hızlı ve daha yavaş hızlara da dağılacaktır. Bu, gerçekten mevcut olan tüm verileri kullanır, hızlıdır ve mevcut verilerin izin verdiği ölçüde doğrudur.

Bu düzenin ek bir avantajı da şudur: sistemi gerçekten olumsuz koşullar altında test etmek istersek, şapkadan daha ortalama hızları çıkarabilir ve tüm uçakların ya çok erken ya da çok geç varmasını sağlayabiliriz.

Hem zaman sıralı modelin hem de bizim modelimizin 45 dakikalık bir uçuş süresi seçtiğini söyleyelim. 3:40’ta varması gereken uçağımız artık Denver’dan gelen ve 3:45’te varması beklenen uçakla aynı anda varacaktır ve bu iki uçağın aynı hava yoluna girmemesini sağlamak kontrol sisteminin görevidir.

Zaman sıralı model 22 rüzgâr hızı, 22 sıcaklık, 22 görüş mesafesi hesaplayacak ve 22 konum hesaplayacaktır. Bizim modelimiz tek bir olay üretecektir: 707’nin 3:45’te Salt Lake City’ye varışı ve bunu, modelde zaman 3:45 olduğunda dikkate alınmak üzere bir listeye koyacaktır.

880’in Salt Lake City’ye programdan bir dakika önce ulaştığını da varsayalım. Konumunu Salt Lake City’deki kontrol merkezine telsizle bildirir; merkez de, istenen hava yolunda önce gitmesi gereken bir uçak olduğunu gözlemleyerek 880’e beklemesini söyler. (Test ettiğimiz kontrol düzeni budur: ilk gelen ilk çıkar değil, programda ilk varması gereken ilk çıkar.) Bir dakika sonra 707 gelir ve hava yolu ona verilir. Ancak bir uçak gecikmiştir ve bu, sistem aleyhine bir kara lekedir.

Bir başka kara leke de, her iki uçağın Salt Lake City üzerinde aynı irtifada, aynı yerde, aynı zamanda bulunmuş olması olabilir. Bizim sistemimiz bu iki gerçeği de kaydeder, ancak zaman sıralı modelleyici bazı zorluklarla karşılaşır. 3:45’te, bu uçaklar aynı noktada ve aynı zamanda iken, bu onun zaman aralıklarından biri değildir. Bunun bir "anlık görüntüsünü" elde etmemiştir. Onun "anlık görüntüleri" 707’yi Salt Lake City’den önce ve sonra gösterir, ancak Salt Lake City’de göstermez. Gecikmeyi not eder, ancak olası çarpışmayı etmez.

Olay modelinde uçağın 3:02’de, 3:04’te vb. nerede olduğunu bilmeyiz. Elbette zaman sıralı modelleyici de bilmez, ancak onun modeli bilinçli bir tahmin yapmıştır. Ancak işin önemli olduğu yerde, hata yapmıştır.

Olay Modelinin Değerlendirilmesi

Biz de bazı önemli şeyleri kaçırmış olmadık mı? Örneğin, iki uçak aynı hava yolundaysa ve biri diğerine yetişirse ne olur? Bu, olaylar arasında gerçekleşir ve modelimizin bunu yakalayamayacağı gibi görünür. Ancak elbette, iki uçağın hava yolundan çıkış sırasının giriş sırasının tersi olduğunu ya da birbirlerine çok yakın çıktıklarını not ediyor olacaktır.

Bir dizi başka şeyi de kaçırdık, ancak bunlar tam olarak önemsiz olan şeylerdir (önemli olsalardı, onları olaylar sınıfına dahil ederdik). Bu model hakkında dikkat edilmesi gereken birkaç başka nokta daha vardır:

Kolayca (hatta düşünülebilir şekilde) mevcut olan girdi verilerinden daha doğru değildir. Makul şekilde tahmin edemeyeceğimiz ve sonuçta hiçbir fark yaratmayan şeyleri tahmin etmeye çok çaba harcamadık.
Bunun bir sonucu olarak, modelimiz yalnızca daha hızlı çalışmakla kalmaz, aynı zamanda bir bilgisayar için programlanması da oldukça daha kolaydır.
Modelimizin çalıştırılması ucuz olduğundan, tek bir başarının sadece şans eseri olmadığını kanıtlamak için önemli ölçüde deneme ve deney tekrarına olanak tanır.
Ayrıca, sistemi zorlaştırmamıza (ya da kolaylaştırmamıza) izin vererek deneyleri daha kolay kontrol etmemizi sağlar.
Modelimiz gerçekçi değildir, ancak gerçekçilik bir amaca ulaşmak için bir araçtır, başlı başına bir amaç değildir. Her tatmin edici analitik araçta olduğu gibi, modelimizde vurgu gerçekçilikte değil, sonucun geçerliliğinde olmuştur.
Olay modeli yalnızca daha geçerli sonuçlar üretmekle kalmaz, aynı zamanda bunları, zaman sıralı modelin ürettiği televizyon gösterisine kıyasla, istediğimize çok daha yakın bir biçimde üretir. Çıktı yığınları olan bilgisayar programlarını sevenler bunu bir dezavantaj olarak görecektir. Buna karşılık, işi bitirmekle ilgilenenler (ve bunu yalnızca iyi değil, makul bir maliyetle yapmak isteyenler) bunu şanslı bir durum olarak görecektir.

Dipnot

Korn, Karl E., "Analytic Testing in Air Traffic Control Systems," Computers and Automation, Ağustos 1961.