(Aralık 1958 sayısından devam, cilt 7, no. 12, s. 29)
13. Önermelerin Bağlaçları
Verilen önermelerden, mantıksal bağlaçlar (ya da bağlamalar ya da işleçler) aracılığıyla kolayca yeni önermeler elde edebiliriz. Örneğin, iki önermeyi “ve/veya” anlamında “ya da” ile birleştirebiliriz. Ayrıca bir önermeyi olumsuzuna çevirebiliriz.
- S • S' = S ve S'; hem S hem S'
- S ∨ S' = S ve S' ya da her ikisi; S ve/veya S'
- S → S' = eğer S ise, o hâlde S'; S, S'yi gerektirir
- S ↔ S' = S ancak ve ancak S' ise; eğer S ise S' ve eğer S' ise S
Bu derlemede, tüm bir önermenin inkârını ifade eden “değil”i de eklememiz gerekir:
- ¬S = S-değil; S’nin doğru olmadığı
Sembolik mantığın alanına girmeyen önermeler arası bağlaçlar da vardır; örneğin, neden-sonuç bilimin alanında olduğu için “S çünkü S'”; zaman fikri sembolik mantığın alanı dışında olduğu için “S iken S'”.
Bu beş işlecin — VE, VEYA, EĞER … İSE, ANCAK VE ANCAK, DEĞİL — hepsinin çok önemli bir özelliği vardır: bunları kullanarak elde edilen bileşik bir önermenin doğruluk değeri, bileşen önermelerin doğruluk değerlerinden hesaplanabilir.
14. Tümel İşleci ve Varoluş İşleci
“x, K özelliğine sahiptir” biçiminde bir önermemiz varsa, başka bir önerme kurabiliriz:
her x, K özelliğine sahiptir
Bu önerme, sembolik mantığa tümel işleç denen bir şey kullanılarak çevrilir:
- (A x) (x K)
ve “her x için, x K özelliğine sahiptir” şeklinde okunur.
“x, K özelliğine sahiptir” önermesinden şu önermeyi de kurabiliriz:
bazı x’ler K özelliğine sahiptir
Bu, “K özelliğine sahip bir x vardır” anlamına gelir ve şöyle yazılır:
- (E x) (x K)
Farklı yazarlar farklı gösterimler kullanır, ancak anlam aynıdır.
15. Üç Yanıt Önermesinin Sembolik Mantığın Sembolik Dilinde Yeniden Yazımı
Önerme 1: Bir şey, başka bir şeyin F’sidir ancak ve ancak M’dir ve o başka şeyin bir P’sidir.
- x F x' ↔ x M • x P x'
Önerme 2: Bir şey, başka bir şeyin B’sidir ancak ve ancak M’dir ve her ikisinin de P’si olan bir şey vardır.
- x B x' ↔ [x M • (E x") (x" P x • x" P x')]
Önerme 3: Bir şey, başka bir şeyin U’sudur ancak ve ancak o başka şeyin bir P’sinin B’sidir.
- x U x' ↔ [(E x") (x B x" • x" P x')]
16. “Sınıfı … Olan” İşleci
“x, K özelliğine sahiptir” önermemiz varsa, şundan söz edebiliriz:
K özelliğine sahip tüm x’lerin sınıfı
Bu sınıf şu şekilde gösterilir:
- (C x) (x K)
17. Göreli Çarpım
Eğer x, x'’nin bir R’inin R'’si ise, şöyle yazarız:
- x R | R' x'
bu da şu anlama gelir:
- (E x") (x R x" • x" R' x')
18. Aile İlişkilerinin Tanımları
Problem 4: İnsanların ilişkilerini tanımlarken aşağıdaki kavramlar kullanılabilir:
- anne
- çocuk
- kız kardeş
- oğul
- kız evlat
- teyze/hala
- büyük ebeveyn
- koca
- eşler (kadınlar)
- eş
- kardeşler
- birinci dereceden kuzen
- üvey erkek kardeş
- büyük teyze/hala
- yeğen
- kayınvalide
- evlilik dışı çocuk
- ata
Çözüm: Üç temel terimin bir listesi Erkek, Ebeveyn, Evli’dir.
Tanımlayalım:
- x M = x erkektir
- x P x' = x, x'’nin ebeveynidir
- x W x' = x, x' ile evlidir
(Metin devam ediyor)
-
x Parent x' = xPx' • ¬xM
Sözle: “x, x üstünün ebeveynidir ve x erkek değildir.” -
x Child x' = x'Px
-
x Sister x' = ¬xM • (∃x") (x"Px • x"Px')
Sözle: x erkek değildir ve x ile x üstünün ebeveyni olan başka bir kişi x ikinci vardır. -
x Son x' = x'Px • xM
Sözle: x üstü x’in ebeveynidir ve x erkektir. -
x Daughter x' = x'Px • ¬xM
Sözle: x üstü x’in ebeveynidir ve x erkek değildir. -
x Aunt x' = x Sister | Parent x'
Sözle: x, x üstünün ebeveynlerinden birinin kız kardeşidir. -
x Grandparent x' = x Parent | Parent x'
Sözle: x, x üstünün ebeveyninin ebeveynidir. -
x Husband x' = xWx' • xM
Sözle: x, x üstü ile evlidir ve x erkektir. -
Wives x' = (Cx) (xWx' • ¬xM)
Sözle: x üstü ile evli olan ve erkek olmayan tüm x’lerin sınıfı. -
x Spouse x' = xWx'
Sözle: x, x üstü ile evlidir. -
Siblings x' = (Cx) (x (Brother ∨ Sister) x')
Sözle: x üstünün erkek ya da kız kardeşi olan tüm x’lerin sınıfı. -
x First Cousin x' = x Child | (Brother ∨ Sister) | Parent x'
Sözle: x, x üstünün ebeveyninin erkek ya da kız kardeşinin çocuğudur.
(c) a adlı bir adam, g adlı bir kızın annesi m ile evlenir; bu kız da adamın babası f ile evlenir.
Yani: a Spouse m • m Parent g • g Spouse f • f Parent a.
Dolayısıyla: a Spouse | Parent | Spouse | Parent a,
ve böylece a, kendi kayın büyükbabasıdır.
-
x Half-Brother x' = xM • (∃x₂, x₃) (x₂ ≠ x₃ • x₂Px • x₂Px' • x₃Px • ¬x₃Px')
Sözle: x erkektir ve x ile x üstünün ebeveyni olan x iki ile, yalnızca x’in ebeveyni olup x üstünün ebeveyni olmayan farklı bir x üç vardır. -
x Great-Aunt x' = x Sister | Grandparent x'
Sözle: x, x üstünün büyük ebeveynlerinden birinin kız kardeşidir. -
x Nephew x' = x Son | (Brother ∨ Sister) x'
Sözle: x, x üstünün erkek ya da kız kardeşinin oğludur. -
x Mother-in-Law x' = x Mother | Spouse x'
Sözle: x, x üstünün eşinin annesidir. -
x Gayrimeşru Çocuk x' = x'Px • (∃x") (x" ≠ x' • x"Px • ¬x"W x')
Sözcüklerle: x üst simgesi, x’in bir ebeveynidir ve x üst simgesinden farklı olan, x’in ebeveyni olan ve x üst simgesiyle evli olmayan bir x ikinci vardır. -
x Ata x' = (∃K) [(x ∈ K • x' ∈ K) • (∀x₂) ((x₂ ∈ K • x₂ ≠ x) → (∃x₃) (x₃Px₂ • x₃ ∈ K))]
Sözcüklerle: x, x’in bir atasıdır ancak ve ancak x ve x’yi içeren, şu özelliğe sahip bir kişiler sınıfı K varsa: K içindeki her kişi x₂ için (x hariç), K içinde x₂’nin ebeveyni olan bir x₃ vardır.
Semboller ve Anlamları
İlkel Semboller
|------|--------| | x, x', x", ... | şeyler, bireyler | | K, K', K", ... | sınıflar, gruplar, kümeler | | R, R', R", ... | ilişkiler (genellikle iki terimli) | | S, S', S" | ifadeler, önermeler | | ¬S | S değil | | S ∨ S' | S veya S' ya da her ikisi | | S • S' | S ve S' | | S → S' | eğer S ise, o halde S'; S, S'yi gerektirir | | S ↔ S' | S ancak ve ancak S' | | ∈ | …’nin elemanıdır, …’nin üyesidir | | xRx' | x, x' ile R ilişkisine sahiptir | | (∀x) | her x için | | (∃x) | bir x vardır | | x = x' | x, x'e eşittir |
Sembolik Mantığın Temel Kavramları
Sembolik mantığın ana akımındaki önemli fikirler tam olarak nelerdir ve bunlar için hangi semboller kullanılır? Sembolik mantığın temel fikirlerinin çoğu Principia Mathematica’da tanımlanmış ve açıklanmıştır; ancak bu eserde, yalnızca sembolik bir dil kullanarak önceden yerleşmiş düşüncelerden kaçınma çabası nedeniyle, bunları anlamak oldukça zordur. İkinci bir iyi kaynak, J. H. Woodger’ın The Axiomatic Method in Biology adlı eserinin 2. Bölümüdür (Cambridge University Press, 1937).
Bu fikirleri yalnızca birbiri ardına okuyarak anlamaya çalışmak ne kolaydır ne de arzu edilir. Sembolik mantık üzerine kitaplar okuyup inceleyerek, uzun bir süre boyunca bunlara alışmak gerekir.
Sembolik mantığın bu ana akımındaki kavramların çoğu, daha sonraki araştırmacıların getirdiği bazı değişikliklerle birlikte, kısa ve yoğun bir özet halinde verilmiştir. Bu özette, zor tipografik semboller daha basit olanlarla değiştirilmiştir.
Bu fikirlerin birçoğu, günümüzde sembolik mantığın otomatik bilgisayarlara uygulanması için henüz gerekli değildir. Bu tür uygulamalar şimdiye kadar yalnızca Boole cebirini kullanmıştır. Ancak Boole cebiri, sembolik mantığın yalnızca küçük bir bölümüdür ve muhtemelen sembolik mantığın çok daha büyük bir kısmı, sonunda otomatik bilgisayarların analizinde ve programlanmasında uygulanacaktır.