Elektronik Analog Bilgisayarlarda Daha Gerçeğe Uygun Giriş Fonksiyonları
T. J. Keefe, Jr.
New Haven, Conn.
Özet
Bir elektronik analog bilgisayara giriş olarak kullanılan fonksiyonlar, bilgisayarda "fonksiyon uydurucu" olarak adlandırılan bir bileşen aracılığıyla tanıtılabilir. Bu bileşen, çıkış geriliminin giriş geriliminin atanabilir bir fonksiyonunu izlemesini sağlayacak biçimde tasarlanmıştır. Her biri eğim ve uzunluk bakımından bağımsız olarak ayarlanabilen, birbirine bağlı on doğru parçasından oluşan bir yaklaşım kullanır.
Bu tür fonksiyonlar elbette keskin köşelidir ve bilgisayardaki denklemlerin nicel analizinde bazı hatalar üretecektir. Bu güçlük, bilgisayar bileşenlerinden oluşan iki bank kullanılarak en aza indirilebilir; bunlardan ilki giriş eğrisini daha istenen bir biçime dönüştürür ya da yumuşatır, ikincisi ise analiz amacıyla birincinin çıkışını kullanır. Ayrıca, fonksiyon uydurucuda oluşturulamayan bazı fonksiyonlar, uygun biçimde düzenlenmiş bir yay-kütle sisteminin çıkışlarından biri olarak elde edilebilir. Çıkış yer değiştirme, hız ya da ivme eğrisi, istenen şekle sahipse, ikinci bileşen bankı için giriş fonksiyonu olarak kullanılabilir.
Tartışma
Bir analog bilgisayarın en önemli kullanımlarından biri, sistem içindeki noktaların yer değiştirmeleri, hızları ve ivmeleri açısından dinamik yay-kütle sistemlerinin incelenmesidir. Pek çok durumda sistemin yer değiştirme özellikleri bilinir ya da bir kayıt osilografı aracılığıyla kolayca belirlenebilir. Bir makine parçasının yer değiştirme deseni belirlendiğinde, hız ve ivme eğrileri bilgisayar tarafından kolaylıkla elde edilebilir; ayrıca sistemdeki kütle, rijitlik ya da sönüm miktarının değiştirilmesinin bu üç eğri üzerindeki etkileri de belirlenebilir.
Bununla birlikte, yer değiştirme eğrisi ya da giriş fonksiyonu saf bir sinüs dalgası veya saf bir basamak dalgasından sapıyorsa, bu eğrilerin ya da bunlardaki değişimlerin nicel olarak hesaplanabileceği doğrulukta bir sınırlama vardır. Bu sınırlama, giriş fonksiyonunu bilgisayara tanıtmak amacıyla yer değiştirme eğrisini kopyalamaya çalışırken bilgisayarın fonksiyon uydurucu kutusunun kullanılmak zorunda olmasından kaynaklanır. Fonksiyon uydurucu kutusu bir fonksiyonu artımlı olarak kurabilir; yani zaman ekseni boyunca ardışık olarak uzanan, istenen çeşitli eğimlerde doğrular elde etmek mümkündür. Doğal olarak, istenen giriş fonksiyonu eğimi değişen sürekli bir eğriyse, fonksiyon uydurucudan elde edilen sonuç gerçek eğrinin yalnızca bir yaklaşımıdır ve ortaya çıkan hız ve ivme eğrileri nicel olarak hatalı olacaktır.
Bu makalenin amacı, giriş fonksiyonlarının istenen giriş eğrisini daha doğru temsil edecek biçimde nasıl üretilebileceğini kısaca açıklamak ve örneklerle göstermektir. Bu amaca yönelik olarak kullanılabilecek iki genel yaklaşım vardır. Bunlardan biri "Değiştirilmiş Fonksiyon Uydurucu" yöntemi, diğeri ise "Çift Yay-Kütle Sistemi" yöntemidir. İstenen giriş fonksiyonunu elde etmeye yönelik bu iki yöntemin her ikisi de temelde aynı ilkeyi içerir. Ancak bu ilkenin uygulanışı iki durum için farklılık gösterir.
Temel ilke oldukça basittir ve şöyledir: Tek bir bank yerine, seri olarak düzenlenmiş iki bank bilgisayar bileşeni kullanılır. Birinci bankın amacı, istenen giriş fonksiyonuna olabildiğince benzeyen bir çıkış fonksiyonu üretmektir. Bu çıkış daha sonra ikinci bankın giriş fonksiyonu olarak verilir ve istenen etki elde edilir.
Birinci yaklaşım olan "Değiştirilmiş Fonksiyon Uydurucu" yöntemi, fonksiyon uydurucuda oluşturulan özgün giriş fonksiyonunu kullanır. Şekil 1’e atıfla, giriş fonksiyonunun bir yer değiştirme x olduğunu (örneğin bir kamın yer değiştirme eğrisi) ve bir dizi bağlantı aracılığıyla kam tarafından tahrik edilen uzak bir makine parçasının yer değiştirme, hız ve ivme özelliklerinin incelenmek istendiğini varsayalım. Bu sistem daha sonra Şekil 2a’da gösterilen biçimde bilgisayara tanıtılabilir.
Şekil 2a’ya bakıldığında, bu dinamik sistem için hareket denkleminin şu olduğu görülür:
[ F(t) - M \frac{d^2 y}{dt^2} - C \frac{dy}{dt} - Ky = 0 ] (1)
burada F(t) zamanın bir fonksiyonu olarak kuvvettir, M tahrik edilen ya da çıkış elemanının kütlesidir, C sönüm katsayısıdır ve K sistemin yay katsayısıdır. Ardından Şekil 2b’ye bakıldığında, F(t)’nin şu şekilde temsil edilebileceği açıktır:
[ F(t) = K_1 (x - y) ] (2)
Böylece Denklem (1) şu hâli alır:
[ K_1 (x - y) - M \frac{d^2 y}{dt^2} - C \frac{dy}{dt} - Ky = 0 ] (3)
Denklem (3) daha sonra, x fonksiyon uydurucudan gelen girişe ve y birinci bileşen bankının çıkış fonksiyonuna eşit olacak biçimde analog bilgisayara beslenebilir. Şekil 3’e atıfla, başlangıç koşullarının fonksiyon uydurucu kutusuna bir uyarım olarak uygulanan bir sinüs dalgası ile belirlendiği görülebilir. Fonksiyon uydurucu kutusundaki kadranlar daha sonra, yer değiştirme eğrisinin gerçek şekline mümkün olan en yakın eşleşmeyi sağlayan giriş fonksiyonu x’i üretecek konumlara ayarlanır. Bilgisayar bu biçimde düzenlendikten sonra, istenen sonuçları elde etmek için C-kutularındaki kütle, yay sabitleri ve sönüm katsayısı üzerinde ayarlamalar yapmak mümkün olacaktır.
Şekiller
Şekil 1 — Analog bilgisayarda analiz için uygun, tipik bir kamla tahrik edilen mekanizma. M = kriko ve bağlantının kütlesi. x(t) = zamanın fonksiyonu olarak kam yer değiştirme eğrisi. y(t) = zamanın fonksiyonu olarak kriko yer değiştirme eğrisi. k₁ = bağlantının yay katsayısı. k₂ = destek yayının yay katsayısı.
Şekil 4 — "Değiştirilmiş Fonksiyon Uydurucu" yöntemiyle üretilen osiloskop desenleri.
- 4-1: Fonksiyon uydurucuya giren sinüs dalgası.
- 4-2: Birinci bileşen bankına giren giriş hareketi x (keskin köşelere dikkat ediniz).
- 4-3: Birinci bileşen bankından çıkan hareket y, ikinci bileşen bankına giren hareket x'.
- 4-4: Birinci bileşen bankından çıkan hız ( \dot{y} ).
- 4-5: Birinci bileşen bankından çıkan ivme ( \ddot{y} ).
- 4-6: İkinci bileşen bankından çıkan hareket y'.
- 4-7: İkinci bileşen bankından çıkan hız ( \dot{y}' ).
- 4-8: İkinci bileşen bankından çıkan ivme ( \ddot{y}' ).
Şekil 3’te A bir toplayıcıyı; C, sabit bir katsayı ile çarpmayı; ∫, bir integratörü; FF ise bir fonksiyon uydurucuyu temsil eder.
GİRİŞ FONKSİYONLARI
Çıkış fonksiyonu y, özgün keskin köşeli giriş fonksiyonunu tam olarak çoğaltacaktır. Daha sonra, ek düzenlemelerle y eğrisi önemli ölçüde yumuşatılabilir; hatta istenen giriş eğrisiyle tam olarak aynı görünecek noktaya kadar. Bu eğri artık giriş fonksiyonu x' olarak kullanılır ve ilk bileşen grubuna her bakımdan benzer olan ikinci bir bileşen grubuna uygulanır. Birinci grubun çıkışının istenen şekli elde edilip ikinci gruba beslendikten sonra, birinci grubun kadran ayarları unutulabilir ve bir daha asla değiştirilmez.
Daha sonra kütle, yay kuvveti veya sönümlemenin değiştirilmesinin etkileri, ikinci grubun çıkışı y' üzerinde gözlemlenebilir. Ayrıca, krikonun hızları ve ivmeleri, giriş fonksiyonunun doğrudan fonksiyon-uydurucu kutusundan alındığı duruma kıyasla osiloskopta çok daha doğru bir biçimde gösterilir. Nicel olarak, sistemdeki hatalar en aza indirilmiştir ve birinci grubun çıkış fonksiyonu kamın yer değiştirme eğrisini tam olarak yeniden üretebilseydi sıfıra indirilebilirdi. Bu yöntem böylece, hızların ve ivmelerin ve bunlardaki değişimlerin azami doğruluk ve asgari çaba ile belirlenmesinde kullanılabilir.
Şekil 4’teki fotoğraflarda, bu yöntem kullanılarak elde edilen eğriler ile süreksiz giriş fonksiyonu kullanılarak elde edilen eğrilerin bir karşılaştırması verilmiştir.
"Çift Yay-Kütle Sistemi" Yöntemi
"Çift Yay-Kütle Sistemi" yöntemi, "Değiştirilmiş Fonksiyon Uydurucu" yöntemine oldukça benzerdir ve bazı açılardan daha kullanışlıdır. Birçok fonksiyon, çeşitli nedenlerle, fonksiyon uydurucuda yaklaşık olarak bile elde edilmesi güçtür. Ancak birçok durumda, bu fonksiyonların çok iyi yaklaşımları; yay ve sönümleme katsayılarının yanı sıra kütleye de dikkat edilerek bir yay-kütle sistemi kullanımıyla elde edilebilir.
Örneğin, istenen bir giriş fonksiyonu, örneğin giriş olarak elde edilmesi çok kolay olan tek bir kuvvet darbesi kullanan bir yay-kütle sisteminin başka bir yer değiştirme, ivme veya hız fonksiyonuna benzeyebilir. Böyle bir yay-kütle sistemi birinci bileşen grubunda kurulduğunda, sistem parametrelerinin ustaca ayarlanması osiloskopta yüzlerce farklı eğrinin elde edilmesini sağlayabilir. Bu durum, bu eğrilerden birinin istenen giriş fonksiyonuna veya onun bir bölümüne çok yakın olacağını neredeyse garanti eder.
Dolayısıyla bu çıkış eğrisi, ister birinci gruptan elde edilen yer değiştirme, hız ya da ivme olsun, ikinci grubun girişi olarak kullanılabilir ve sonraki sonuçlar oldukça yüksek bir doğrulukla incelenebilir. Doğal olarak, nihayetinde elde edilen doğruluk, birinci sistemin çıkış eğrisinin istenen girişe ne kadar yaklaştırılabildiğinin bir fonksiyonudur. Ayrıca, bileşen grupları ekleme sürecinin ikiyle sınırlı olması gerekmez. Bileşen kutuları mevcutsa, istenen doğruluk derecesi elde edilene kadar gerekli olduğu kadar grup kullanılabilir.
Ayrıca, giriş fonksiyonu apsis boyunca uzun bir süre boyunca sürekli olarak şekil değiştiriyorsa, bunun bölümleri tek tek alınarak bilgisayarda incelenebilir. Tüm eğriye ilişkin sonuçlar, bu parçaların birleştirilmesiyle elde edilir.