George F. Forbes
Pacoima, California
Dijital Diferansiyel Analizör (DDA), en uygun biçimde, daha iyi bilinen Bush Analizörü ile olan ilişkisi üzerinden tanımlanabilir. Bush aygıtı, mühendislik ve araştırmada yerleşik bir araçtır. İlkeleri ve yapısı basit ve genel olarak anlaşılmıştır ve birimleri nispeten ucuz ve esnek biçimde temin edilebilmektedir.
Bush Analizörlerinin endüstride daha yaygın kullanımının önündeki başlıca engeller; büyük hacim, hassas mekanik parçaların yüksek maliyeti, uzun kurulum süresi, mekanik hataların getirdiği sınırlamalar ve nispeten düşük çalışma hızıdır. DDA bu sınırlamaların bazılarına sahip olmakla birlikte, Bush aygıtında olduğu gibi bunlar çalışma ilkesinin ayrılmaz bir parçası değildir.
Bush Analizörü, entegrasyonu mekanik integratör birimlerinin dönmesi yoluyla gerçekleştirir. Bir teğet disk, dönen bir diskin yüzeyi üzerinde kenarı boyunca yuvarlanır. Disklerin eksenleri birbirine diktir ve aynı düzlem içindedir. Teğet disk kendi ekseni boyunca kaydıkça, iki disk arasındaki dişli oranı düzgün bir biçimde değişir ve teğet diskin temas noktasından dönen diskin merkezine olan uzaklıkla orantılıdır. Yüzey diskinin dönmesi giriş değişkeni olarak görev yaparken, teğet diskin dönmesi çıkış değişkeni olur.
Her bir integratör birimi tarafından çözülen türev denklemi şu şekilde ifade edilebilir:
dz/dt = y·dx/dt.
Burada y, yukarıda sözü edilen dişli oranıdır; x, yüzey diskinin dönme açısını; z, tahrik edilen teğet diskin dönme açısını; t ise zamanı temsil eder. Yalnızca disk açıları arasındaki ilişkiyi ele alırsak, denklem dz = y·dx diferansiyel denklemi hâline gelir. z, dönüşlerin sayılmasıyla ya da açıyı gösteren bir aygıtla biriktirilirse, denklem z = ∫y·dx olur.
Çeşitli üniversitelerdeki Bush Analizörleri genellikle oldukça karmaşıktır. Çok hafif bir teğet diskin hareketini algılamak için sıklıkla fotoelektrik aygıtlar kullanılır. Böylece disk temas noktasının, teğet disk ataleti ve çok küçük temas sürtünmesini yenmek için gerekenden daha fazla kuvvet iletmesi gerekmez. Büyük çizim tablaları, çizici ya da manuel veya fotoelektrik eğri izleyicileri olarak hizmet eder. Sonuç olarak, böyle bir kurulum iyi büyüklükte bir odayı kaplar ve düzinelerce dişli düzeni ile yüzlerce fit mekanik mil içerir.
Bush integratör birimleri, kamlar ve servo-mekanizmalarla birlikte kullanıldıkları endüstriyel ve askerî hesaplama aygıtlarında önemli uygulama alanına sahiptir. Bu kompakt birimler, gerekli torku kabul edilebilir hata ile mümkün olan en küçük hacimde iletmek üzere hassas biçimde üretilmiştir.
Küçük, endüstriyel tipte bir Bush integratör hesaplayıcısı altı integratör, iki çizici-izleyici, altı sabit çarpan ve dört toplayıcı içerir. Yaklaşık bir ofis masası kadar yer kaplar, yalnızca beş yüz pound ağırlığındadır ve 60 çevrimli, 115 voltluk 500 watt’lık bir besleme ile çalışır. Hacimdeki tasarruf, tüm millerin senkro motorlar ve jeneratörlerle değiştirilmesiyle sağlanır. Bağlantılar elektrikli bir fiş panosu üzerinden yapılır. Aygıt sağlam ve iyi yapılmıştır. Yüzde birin onda biri doğruluk iddiasında bulunulmaktadır.
Dijital Diferansiyel Analizörün güncel modelleri, entegrasyonu, dönen bir manyetik tamburun yüzeyine darbeler olarak kaydedilen sayısal yazmaçlar kullanarak gerçekleştirir. Yukarıda kullanılan gösterimi kullanırsak, her bir integratör, integrand yazmacı y’nin içeriğini, dx/dt hızında, art arda bir artık yazmacına ekler veya ondan çıkarır. Çıkış dz/dt, artık yazmacının taşma hızıdır. Bush integratörü açısından bakıldığında, integrand yazmacındaki sayı, Bush Analizöründeki dişli oranına benzer. Integrand yazmacının artık yazmacına ekleme hızı, Bush yüzey diskinin dönme hızı dx/dt’ye benzer. Artık yazmacının taşma hızı ise Bush teğet diskinin dönme hızı dz/dt’ye benzer.
Bir makine altmış veya daha fazla integratör içerebilir ve bunların her biri saniyede yaklaşık 60 kez güncellenir. Etki, Euler entegrasyonu kullanarak ve saniyede 60 adım hızında hesaplayarak, bir diferansiyel denklemi sonlu farklarla adım adım çözmeye benzer. Kullanılan anlamlı basamak sayısı, pratik çalışma süresiyle sınırlıdır. Yaklaşık bir saatlik tipik bir mühendislik çalışması, başlangıç koşullarında en az üç anlamlı basamağa izin verir. Bu, mekanik ya da elektriksel bileşen doğruluğunun yüzde birin onda birine karşılık gelir. Mühendislik problemlerinde başlangıç koşulları nadiren bu doğrulukta gerekli, bilinen ya da ölçülebilirdir.
Dijital Diferansiyel Analizör
DDA’nın büyük potansiyel değere sahip bir avantajı, bileşen doğruluğunun çalışma süresi pahasına artırılabilmesidir. Sağlanan esnekliğe ek olarak, bu avantaj, temel darbe hızının yükseltilmesiyle doğruluğun artmasına yol açar. Belirli bir çalışma süresi için, temel darbe hızı on kat artırılırsa, bir problem bileşen hatasının onda biriyle çalıştırılabilir. Mevcut donanımlarda temel darbe hızı tamburun pratik çalışma sınırı olan yaklaşık 100 kilohertz düzeyinde olduğundan, geleceğin daha hızlı ve daha doğru makinelerinin cıva sütunu ya da elektrostatik bellek aygıtlarını kullanması olasıdır.
Bush Analizörüne göre ikinci önemli bir avantaj, integratörlerin işaret tersine çevirme özelliğidir. Bir Bush integratöründe teğet disk yüzey diskinin kenarından çıktığında, makinenin durdurulması ve problemin yeni ölçek faktörleriyle yeniden çalıştırılması gerekir. DDA bu koşullarda duracak şekilde kodlanabilir. Ancak devam etmesine izin verilirse, taşan integrand değerinin işaretini değiştirir. Bush integratörü için benzer durum, teğet diskin, aynı açısal yönde dönen başka bir diske geçmesi olurdu. Yani teğet disk, dönme yönünü aniden tersine çevirecek şekilde aktarılmış olurdu.
Bu işaret tersine çevirme özelliği son derece kullanışlıdır. İntegratörlerin anahtarlama aygıtları, toplayıcılar, sınırlayıcılar, servo-mekanizmalar, süreksizlik üreteçleri, darbe hızı çarpanları, mutlak değer üreteçleri ve pek çok başka türde özel fonksiyon veya yanıt üreteci olarak kullanılmasına olanak tanır.
DDA’nın iki çok kullanışlı avantajı; ayrı bir toplama aygıtı kullanmadan birden fazla girdinin doğrudan bir integrand içinde toplanabilmesi ve entegrasyon gerçekleştirilirken aynı anda bir sabitle çarpma yapılabilmesidir.
Gösterimimiz açısından, her bir integratör aşağıdaki biçimde z fonksiyonunu üretecektir:
dz = k (Y₁ + Y₂ + Y₃ + Y₄ + Y₅ + Y₆ + n) dx
DDA’nın Bush Analizörüne ve bazı diğer analog donanım türlerine göre bir başka avantajı, hızlı kurulum süresidir. Harici çiziciler ve eğri izleyicilere yapılan bağlantılar dışında her şey için sayısal kodlu bir sistem kullanılır. İntegratör ara bağlantıları, başlangıç değerleri, sabit çarpanlar, işaret değişiklikleri ve hesaplama biriminin içindeki her şey; integratör ve kanal seçici anahtarlar ile tek bir klavye ondalık rakam bankası aracılığıyla girilir. Bantla doldurma kullanılmadıkça hiçbir donanımın elle ayarlanması gerekmez.
Makinenin tüm kapasitesini içeren bir problem bir saatten kısa sürede girilebilir ve kontrol edilebilir. Bir kez girildikten sonra, program ve başlangıç koşulları gerektiği sürece korunur. Sabitler ve bağlantılar, problem kaybedilmeden veya yeniden başlatılmadan istenildiği gibi değiştirilebilir. Problem, birkaç saniye içinde ve harici donanımın sıfırlanması için gereken ek süreyle, kolayca başlangıç koşullarına döndürülebilir.
DDA kompakt bir yapıya sahiptir; bir klavye konsolu, bir hesaplama birimi, bir daktilo ve yardımcı çiziciler ile eğri izleyicilerden oluşur. Hesaplama birimi, boyut olarak birkaç raf dolusu analog donanımla karşılaştırılabilir.
Bununla birlikte, DDA’nın dezavantajları da vardır. Diğer elektronik dijital hesaplayıcılarda olduğu gibi, bakım ve güvenilirlik bir ölçüde sorun teşkil eder. Binlerce kristal diyot, makul olmayan duruş sürelerini önlemek için çok yüksek güvenilirlik ve uzun hizmet ömrü gerektirir. Arıza genellikle açık olmakla birlikte, arızaya neden olan bileşeni bulmak zordur. Bakım personelinin, elektroniğe ilişkin pratik bilgiye ve hesaplama sisteminin mantıksal denklemlerini kavrayacak yeterli matematiksel ilgiye sahip olması gerekir. Bununla birlikte, bakım kaynaklı duruş süresi, “donanım tipi” Bush Analizöründe bir problemi kurmak için gereken süreden çok daha azdır.
Çalışma ilkesinden kaynaklanan hatalar meydana gelebilir; ancak bunlar, DDA’nın kesinliğiyle ilişkilidir ve işletim hatasından kaynaklanmaz. Kullanılan darbe hızları, tam hızlar dışındaki durumları temsil ederken çevrimsel bir düzen izlediğinden, herhangi bir entegrasyon, istenen değişkenlere ek olarak bu düzeni de entegre eder. Örneğin, operatör sıfır hızın gerçekte 30 çevrimlik bir salınım olduğunu gözden kaçırır ve bunu başka bir sıfır hıza göre entegre ederse, makinenin doğru yanıt vermesinden kaynaklanan nispeten küçük bir hata ortaya çıkar. Bu “taşıyıcı” darbe hızlarının etkilerini ortadan kaldırmak için yöntemler mevcuttur ve bazı makinelerde kısmi telafi yerleşik olarak sağlanmıştır.
DDA’nın mevcut modelleri, problem çalışma süresi temelinde karşılaştırma yapıldığında, ağ ve DC yükselteç tipi analog donanımlarla rekabet edemez. Ancak bu tür analog donanımlar, hızlarına rağmen, DDA ile karşılaştırılabilir değildir. Analog donanım, her entegrasyonun zamana göre yapılması zorunluluğuyla sınırlıdır. Yani dx/dt (DDA için herhangi bir şey olabilen), her zaman sabit olmalıdır.
Uygulamada DDA, doğrusal olmayan denklemlerle başa çıkmada ve geleneksel fonksiyonların üretilmesinde daha esnektir. Bir integrand içindeki terimlerin çarpımı, özel bir çarpma aygıtı ya da yardımcı ekipman kullanılmadan elde edilebilir. Bağımsız değişken dışındaki değişkenlere göre entegrasyondan kaçınmak için matematiği yeniden yazmak ya da yaklaşıklaştırmak gerekmez. Keyfi fonksiyonlar, mutlak değerler, sınır durdurmaları, ek yardımcı denklemler veya birinci türevlerin kareleri gibi ayrıntılar DDA üzerinde problemlere eklenebilir. Bunlar, karmaşıklığı, planlama süresini ve kontrol süresini önemli ölçüde artırır ve daha yetenekli ve deneyimli personel gerektirir.
Genel bir değerlendirme olarak, Bush Analizöründe çözülebilen herhangi bir problem, DDA üzerinde daha kolay çözülebilir. Bush Analizörü için fazla karmaşık olan pek çok problem DDA’da yapılabilir.
Örnekleyici Örnek: Rijit Sarkaç
DDA’nın problem çözüm yaklaşımını göstermek için, oldukça basit bir klasik problem ele alınabilir; yani açısal hıza doğrudan orantılı hava sürtünmesine sahip basit rijit sarkaç. Bu problem için denklem şöyledir:
mL θ¨ = −W sin θ − kL θ̇
Burada θ açı, W bobun etkin ağırlığı, L sarkacın etkin uzunluğu, k hava akışkan sürtünmesi katsayısı ve t zamandır. m’nin, sarkacın atalet momentinin etkisini içerdiği varsayılmaktadır.
Denklem, DDA için daha uygun bir biçimde yeniden yazılabilir:
dθ̇ = −(W/mL) sin θ dt − (k/mL) dθ
Denklem artık, her biri bir çıkış ve bir ya da daha fazla girişe sahip bir integratörü temsil eden birkaç denkleme ayrılmıştır. Gösterimimizde, her integratör aşağıdaki biçimde bir denklemle temsil edilir:
dz = K · y · dx
Denklemler şunlardır:
- dθ = θ̇ dt
- d(sin θ) = (cos θ) dθ
- d(cos θ) = −(sin θ) dθ
- d(kdθ/mL) = −(k/mL) dθ
- d(−W sin θ dt / mL) = −(W/mL) (sin θ) dt
- dθ̇ = −(W/mL) sin θ dt − (k/mL) dθ
Bu denklemler beş integratörü temsil etmektedir.* Bu, mevcut makine kapasitesinin yüzde onundan daha azdır. Problem, açı büyüklüğü bakımından herhangi bir sınırlama olmaksızın çalıştırılabilir; yani sarkaç 360°’den fazla salınım yapabilir. Yaklaşık iki saniyelik periyoda sahip bir sarkaç kullanılsaydı, çalışma hızı problem zamanının her bir saniyesi için yaklaşık iki buçuk dakika olurdu ve bileşen hatası yaklaşık yüzde birin onda biri mertebesinde olurdu.
Gösterim amacıyla kullanılan örnekteki yöntem oldukça doğrudan görünebilse de, ölçek, sınırlar ve verimli kullanım gibi sorunlara değinilmemiştir. Problem, alışılmış mühendislik ayrıntılandırmalarının hiçbirini içermemektedir.
DDA’nın daha geniş endüstriyel uygulamasını en çok geciktiren etken, çalışma ilkelerinin bir ölçüde soyut nitelikte olmasıdır. Mekanik, analog ve dijital hesaplama aygıtları genellikle teknik kişilere tanıdık gelen mekanik, elektriksel ve aritmetik yöntemleri uygular. Ortaya çıkan bu aşinalık duygusu, bu aygıtların kullanımını teşvik eder. Öte yandan, genellikle “DDA Nasıl Çalışır” konusunu açıklamak için gereken ayrıntılı anlatımlar, ortalama mühendisi zihinsel olarak oldukça güvensiz bir durumda bırakma eğilimindedir. Bu psikolojik etki, en yetenekli mühendislik uzmanlarının bile ilgi duymasını ve kullanımını önemli ölçüde geciktirir.
Özetle, Bush Analyzer üzerinde pratik olan herhangi bir problem, DDA için basit bir problemdir. DDA’nın potansiyel kapasitesi neredeyse sınırsızdır. Çalışma hızındaki, integratör kapasitesindeki, elde edilebilir doğruluktaki, güvenilirlikteki ve operatör bilgi birikimindeki gelişmeler; yeni modeller üretildikçe ve bunlara yeni uygulamalar kazandırıldıkça, DDA’nın pratik yararını büyük ölçüde genişletecektir.
References
- D. R. Hartree, Calculating Machines; University Press, 1953.
- The Analyzer Corporation, 2140 Westwood Blvd., Los Angeles 25, Calif.
- Bendix Computer Division, Bendix Aviation Corporation, 5630 Arbor Vitae, Inglewood, Calif.
- Instruments of Illinois.
- Computer Research Corporation, 3348 W. El Segundo Blvd., Hawthorne, Calif.
Not: (6) ve (1) numaralı denklemler aynı integratörü temsil etmektedir.