İkili Aritmetik
J. B. McCall
Winnipeg, Kanada
Okuyucularınızdan bazılarının ikili aritmetiğe ilgi duyabileceğini düşünüyorum; çünkü bu, birçok otomatik dijital bilgisayarda önemlidir ve çoğu matematiksel çalışmada yeterince açıklanmaz ya da örneklenmez. Sonuçta, otomatik bilgisayarlara giriş, ikili aritmetikle rahat hissetmeyi öğrenmeyi içerir. Bu nedenlerle, aşağıdaki notlar “Forum”un bir parçası olarak sayfalarınızda yer almaya değer olabilir.
İkili sayı ölçeği ya da ikili gösterim, sayıların alışılmış onluk gösterimde olduğu gibi taban 10 yerine taban 2’ye göre ifade edildiği bir sistemdir. Yani ikili sembol “10” iki anlamına gelir, “11” üç anlamına gelir, “100” dört anlamına gelir ve bu şekilde devam eder. Herhangi bir sayıyı ifade etmek için yalnızca iki farklı basamağa ihtiyaç vardır; bunlar, sıfırı ifade eden “0” ve biri ifade eden “1”dir. Basamakların konumları, on yerine ikinin kuvvetlerini belirtir.
Hesaplama makineleri uygulamaları için ikili sistem birçok avantaj sunar. İki kararlı duruma sahip herhangi bir mekanik ya da elektriksel aygıt bir ikili basamağı temsil etmek için kullanılabilir ve dolayısıyla bunlardan oluşan bir grup herhangi bir sayıyı temsil edebilir. İkili basamakları temsil etmek için kullanılmış bazı aygıtlar; anahtarlar, röleler, vakum tüpleri, elektrik lambaları ve kam milleridir. Örneğin, bir elektrik lambasında yanan bir lamba “1”i, sönük ya da kapalı bir lamba ise “0”ı temsil edebilir. Elektromekanik ya da elektronik elemanlar kullanılarak yapılan uygun kablolama ile, bu şekilde temsil edilen sayıları çeşitli biçimlerde birleştirmek ve böylece aritmetiğin olağan işlemlerini gerçekleştirmek mümkündür.
Ancak, ikili gösterimin kullanımı makinelerle sınırlı değildir. Bu sistemde sıradan kâğıt-kalem aritmetiği yapmak da tamamen mümkündür. Bunu yapabilmek için yalnızca bir toplama tablosuna ve bir çarpma tablosuna ihtiyacımız vardır.
Toplama Tablosu
| + | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 10 |
Çarpma Tablosu
| × | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
Bu tabloların ne kadar basit olduğu fark edilecektir. Onluk gösterimde, karşılık gelen tabloların her birinde 100 giriş vardır ve her çocuk okul hayatı boyunca bunlar üzerinde birkaç yüz saat alıştırma yapar; oysa ikili gösterim için tablolar ve bunların kullanım yolları herhangi bir çocuk tarafından çok kısa bir sürede öğrenilebilir. Leibnitz, ikili gösterimin onluk gösterime üstünlüğünden o kadar etkilenmiştir ki, evrensel olarak kullanılmasını savunmuştur. Ancak muhasebe amaçları için bazı dezavantajları vardır ve bu durum bu önerinin benimsenmesini engellemiştir.
İkili gösterimin kullanımına bir örnek olarak, iyi bilinen matematiksel sabit e’nin ikili sistemde değerini hesapladığımızı varsayalım. e, aşağıdaki serinin toplamının limiti olarak tanımlanır:
1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + … + 1/n!
burada n sınırsız olarak artar; 2! = 2 × 1, 3! = 3 × 2 × 1, … ve n! = n (n − 1) (n − 2) … 3 · 2 · 1’dir.
İkili gösterimde e için karşılık gelen ifade şöyledir:
1 + 1/1! + 1/10! + 1/11! + 1/100! + 1/101! + …
İlk iki terimin her biri 1’dir. Üçüncü terim, ikincinin (ikili) 10’a bölünmesiyle elde edilir. Onluk gösterimde olduğu gibi, bu işlem bölüneni bir basamak sağa kaydırarak yapılır; dolayısıyla terim 0.1 olur.
Dördüncü terim, sonuncunun 11’e bölünmesiyle elde edilir. İkili aritmetiğin işlemini göstermek için bunu ayrıntılı olarak yapalım.
Bölme işlemi, onluk uzun bölmede olduğu gibi aynen ilerler; tek fark, her aşamada bölenin kısmi kalandan ya büyük, ya eşit ya da küçük olmasıdır; dolayısıyla bölüm basamağı ya 0 ya da 1 olur. Ortaya çıkan bölüm tekrar eder ve sonunda dördüncü terim için şunu elde ederiz:
0.001010101010101010101010101010101010101
Beşinci terim, bunun 100’e bölünmesiyle elde edilir; bu da tüm basamakların iki konum sağa kaydırılmasıyla basitçe yapılır:
0.000010101010101010101010101010101010101 …
Sonraki bölmeler de benzer şekilde ilerler. Kalan terimler için bölmenin ayrıntıları yazılmayacaktır; ancak elde edilen bölümler aşağıdaki gibidir:
- 1.0
- 1.0
- 0.1
- 0.001010101010101010101010101010101010101 …
- 0.000010101010101010101010101010101010101 …
- 0.000000100010001000100010001000100010001 …
- 0.000000000101101000010110100001011010000 …
- 0.000000000000110100000001101000000011010 …
- 0.000000000000000110100000001101000000011 …
- 0.000000000000000000101110011101111100 …
- 0.000000000000000000000100100111111001001 …
- 0.00000000000000000000000011010111001100 …
- 0.0000000000000000000000000010001111011 …
- 0.000000000000000000000000000001011000 …
- 0.000000000000000000000000000000000110 …
Şimdi terimlerin toplamını elde etmek için bunları toplamak gerekir. İkili aritmetikte toplama yapmak kolaydır: en sağdaki sütundan başlayarak her sütunu aşağı doğru tarayın ve 1’leri ikişerli olarak iptal edin. İptal edilen her çift için, bir sol sütuna bir adet 1 ekleyin. Sonuç, bir sonraki sayfanın üst kısmında gösterilen Tablo A’dır.
Bu tabloda, noktalı çizginin altındaki 1’ler, önceki sütunda bir çift 1’in iptal edilmesinden kaynaklanan elde değerleridir. Nihai sonuç, bu elde değerlerinin noktalı çizginin üzerindeki kalan basamaklarla birleştirilmesiyle elde edilir.
Toplam, içinde iptal edilmemiş bir 1 bulunan her sütunun altına bir 1, diğer sütunların altına ise bir 0 yerleştirilerek elde edilir. Yukarıdaki sonuçtaki son 8 basamak, kullanılmamış olan 39’uncu terimin ötesindeki terimlerden elde değerleri gelmiş olsaydı değişebilirdi; bu nedenle “err” için değer olarak yukarıdaki sonucun yalnızca ilk 34 basamağını benimsiyoruz. Yani,
err = 10.1011011111100001010100010110001 (ikili).
Yukarıdaki sonucun doğru olduğunu kontrol etmek için, ikili gösterimde n’inci basamaktaki bir 1’in onluk sistemde (1/2)^n değerine eşdeğer olduğunu not etmemiz yeterlidir. Dolayısıyla tüm ifade, aşağıdakilerin toplamına eşittir:
- 2.5
- .125
- .0625
- .015625
- .0078125
- .00390625
- .001953125
- .0009765625
- .48828125
- .015258789
- .003814697
- .000953674
- .000059604
- .000014901
- .000007450
- .000000465
- .000000058
Bu da şunu verir:
2.7182818284 •••••••,
ki bu, “err”nin iyi bilinen değeridir.
Bu tartışma, ikili gösterimin aşağıdaki özelliklerini göstermiştir:
Birincisi, aritmetiğin temel işlemleri çok kolay hale gelir. Toplama ve çarpma için uzun tabloları hatırlamaya gerek yoktur. Bölmede ise deneme bölenleri ve çarpmalar yapılmak zorunda değildir.
İkincisi ise, basit bir hesaplama için ne kadar çok alan gerektiğini fark ederiz. “err” için elde ettiğimiz nihai ifade 34 anlamlı basamak gerektirirken, onluk karşılığı yalnızca 11 basamak gerektirir ve benzer bir oran hesaplama boyunca geçerli olmuştur.
İnsanlar ikili yerine onluk sistemi kullanmayı tercih eder; çünkü insan zihni iki adet 10×10 tabloyu oldukça kolay taşıyabilir, ancak aşağıdaki gibi bir ifadenin anlamını kavramak bizim için zordur:
10.10110111111000010101000
İkili Aritmetik
Tablo A
.001 010 101 010 101 010 101 010 101 010 101 010 101
010 101 010 101 010 101 010 101 010 101 010 101
100 010 001 000 100 010 001 000 100 010 001
101 101 100 000 101 101 100 000 101 101
110 100 000 000 110 100 000 000 110
111 100 000 000 111 100 000 000
101 100 001 110 111 100 011
100 100 111 111 001 001
011 010 111 001 100
010 001 111 011
001 011 000
110
·······101·011·111·111·111·111·111·111·111·111·111·11·
111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 11
111 111 111 111 111 111 11
1111
10.1011011111100001010100010110001001111111
10110001 •••••• ilk bakışta.
Ancak makineler, çoğu zaman onluk yerine ikili sistemi kullanır; çünkü bu kadar basit toplama ve çarpma tablolarına sahip olmak kablolamayı büyük ölçüde basitleştirir ve makineler o kadar hızlı çalışır ki 11 yerine 34 basamak kullanma gereği onlar için hiçbir önem taşımaz.