UNIVAC Bilimsel Bilgisayarı için Matematiksel Alt Programlar — Bir İnceleme

Werner L. Frank
The Ramo-Wooldridge Corporation
Los Angeles, California

Sperry Rand Corporation tarafından ilk UNIVAC Bilimsel Bilgisayarlarının teslim edilmesinden bu yana geçen üç yıllık süre içinde, bu makineleri kullanan çeşitli kurulumların program kütüphaneleri, sanayi ve bilimin temel hesaplama gereksinimlerini geniş ölçüde yansıtan bir matematiksel alt programlar repertuvarı geliştirmiştir. Buna ek olarak, bu programlar kullanılan matematiksel yöntemler ve sayısal teknikler açısından hesaplama sanatının durumuna ilişkin göstergeler de sunmaktadır. Burada, UNIVAC Scientific Model 1103 ve 1103A bilgisayarları için mevcut bu tür rutinlere ilişkin bir inceleme sunulmaktadır.

Okuyucuya yardımcı olmak amacıyla, bu iki bilgisayarın bazı özellikleri Tablo I’de sunulmuştur. Bilgisayarlar arasında önemli farklar bulunmasına rağmen, 1103 için hazırlanmış programlar küçük değişikliklerle 1103A üzerinde çalışacaktır; bunun tersi ise yalnızca 1103A’nın belirli talimatları kullanılmadığı takdirde geçerlidir.

Temel Fonksiyonlar

Temel fonksiyonlara yönelik alt programlar tüm hesaplama merkezleri için gerekli bir yapı taşıdır ve muhtemelen diğer tüm fonksiyon türlerinden daha fazla ilgi görmüştür. Pek çok matematiksel yöntem mevcut olmakla birlikte, trigonometrik, üstel ve logaritmik fonksiyonların belirlenmesinde çoğu alt programın Hastings’in [1] rasyonel fonksiyon yaklaşımlarını kullanmasından, bu yaklaşımların popülerliği açıkça görülmektedir.

Bununla birlikte, bu fonksiyonların bazıları için Chebyshev polinomları (RR)* ve minimaks uyumları (RW) uygulamaları da vardır. İlkinin bir örneği sin x ve cos x’i hesaplayan bir rutindir; ikincisi ise loge x ve e^x’in bulunmasına uygulanmıştır. Sürekli kesir açılımlarının (WS) tekniği bir örnekte e^x ve arctan x’in bulunması için kullanılırken, Taylor serisi açılımı (AP, CV) sin x ve cos x’in bulunmasında kullanılmıştır.

Bir sayının n’inci kökünün Newton–Raphson yöntemiyle bulunması konusunda görüş birliği evrensel görünmektedir. Ancak karekök için daha popüler rutinlerden biri (RR), √x için başlangıçta bir rasyonel fonksiyon yaklaşımı yapar ve bunu Newton–Raphson yinelemesinin bir çevrimiyle izler.

Bu rutinlerin çoğu 1103 ve 1103A için mevcuttur ve sabit ve kayan noktalı gerçek aritmetikte çalışır. Bir örnekte, bir karekök alt programı çift duyarlıklı gerçek aritmetikte ve ayrıca karmaşık aritmetikte çalışacak şekilde hazırlanmıştır. Bu rutinlerin mevcudiyeti Tablo II’de verilmiştir.

Parantez içindeki harf çiftleri, söz konusu alt programı hazırlayan hesaplama kurulumunu tanımlar. Tanımlama aşağıdaki gibidir:

AP — Applied Physics Laboratory, Johns Hopkins University
BO — Boeing Airplane Co., Seattle, Washington
CV — Convair, San Diego, California
OR — Operations Research Office, Chevy Chase, Maryland
RR — Remington Rand Univac, St. Paul, Minnesota
RW — The Ramo-Wooldridge Corporation, Los Angeles, California
WS — White Sands Proving Grounds, New Mexico
NA — National Security Agency, Washington, D. C.

Matris Cebiri

Daha önemli matematiksel alt programlar arasında doğrusal denklem sistemlerinin çözümlerini ve matrislerin terslerini bulanlar yer alır. Mevcut programların çoğunda, birbiriyle yakından ilişkili bu problemler, doğrusal matris denklemi AX = B’de bilinmeyen X matrisini belirlemek üzere tasarlanmış tek bir alt program tarafından çözülür. Gauss, Jordan ve Crout’un üç doğrudan yöntemi [2] ile yinelemeli Gauss–Seidel yöntemi [2] kodlanmış ve Tablo III’te özetlenmiştir.

Bir matrisin determinantını bulmak için, üçgensel bir matrise ulaşıncaya kadar eleme tekniği uygulanır. Daha sonra bu indirgenmiş matrisin köşegenindeki elemanların çarpımı istenen sonucu verir. Kayan noktalı, gerçek ve karmaşık aritmetikte çalışan rutinler (CV, RW) mevcuttur. Söz konusu aritmetikler için matris derecesine ilişkin sınırlar sırasıyla n ≤ 170 ve n ≤ 115’tir.

Hem gerçek simetrik hem de keyfi karmaşık matrislerin özdeğer ve özvektörlerinin belirlenmesine önemli ölçüde dikkat edilmiştir. Simetrik durumu çözmek üzere kodlanan yöntemler arasında iyi bilinen Jacobi dönel yöntemi [3, 4] ile Hestenes ve Karush’a ait gradyan yöntemi [5] bulunmaktadır. Yoğun bir araştırma programının sonucu olarak, Hermit olmayan durum için kuvvet yöntemi, kök bulma teknikleri ve simetri dönüşümleri uygulanarak verilerin yoğunlaştırılması [6] gibi yaklaşımları kullanan çok sayıda kod hazırlanmıştır. Bu rutinlerin bir açıklaması Tablo IV’te sunulmaktadır.

Bu standart problemlere ek olarak, birçok kurulum temel matris işlemlerinin bazılarını gerçekleştiren özel soyutlamalara sahiptir. Bu tür kodlar genellikle yorumlayıcı bir sistemin parçasıdır. Bunlar arasında vektör normlarının hesaplanması, skaler çarpım ve matris çarpımı yer alır.

Doğrusal Olmayan Fonksiyonların Kökleri ve Ekstremumları

1103 ve 1103A bilgisayarları için, Ward [7] ve Muller [8] tarafından geliştirilen iki yeni yöntem de dâhil olmak üzere çeşitli kök bulma teknikleri mevcuttur. Çoğu durumda bu tür alt programlar polinomların sıfırlarını bulmak üzere hazırlanmış olsa da, keyfi fonksiyonları da ele alabilen bir program bulunmaktadır. Bu kodların özellikleri Tablo V’te verilmiştir.

Polinomlarla bağlantılı olarak, verilen bir argüman için bu fonksiyonu iyi bilinen iç içe yerleştirme algoritmasıyla hesaplayan çok sayıda alt program hazırlanmıştır.

Ayrıca, değiştirilmiş bir en dik iniş tekniğiyle bir kısıt altında n değişkenli bir fonksiyonu minimize eden bir alt program da hazırlanmıştır. Bu program (RW) kayan noktalı gerçek aritmetikte yürütülür ve derecesi 20’ye kadar olan problemleri ele alabilir.

Diferansiyel Denklemler

Birinci mertebeden adi diferansiyel denklemler sisteminin çözümünü bulma problemi, bir dizi alt program tarafından ele alınmıştır. Programlanan üç yöntem, değiştirilmiş Euler yöntemi, Runge–Kutta–Gill [9] yöntemi ve Adams–Moulton öngörücü–düzeltici yöntemidir [10]. Tüm durumlarda, uygun bir gösterimle birden büyük mertebedeki denklemler de ele alınabilir.

Bu rutinlerin özellikleri Tablo VI’da özetlenmiştir. Kısmi diferansiyel denklemlerin çözümü için standart kütüphane rutinlerinin mevcut olmadığı, ancak belirli problemler için özel programların hazırlandığı belirtilmektedir.

İntegrasyon ve Türev Alma

Belirli integrallerin hesaplanması, tekniklerin bir kombinasyonu ile gerçekleştirilir. Bunlar şunları içerir:

(a) Eşit aralıklı Xₙ noktaları için 2 ≤ n ≤ 16.000 olacak şekilde Simpson kuralı ile Newton’un üç-sekizlik kuralının birleşimi (RW).
(b) Eşit aralıklı Xₙ noktaları için 8 ≤ n ≤ 4095 olacak şekilde Simpson kuralı (RW) ile Milne formüllerinin [11] birleşimi.
(c) En fazla 16 nokta ve seçilmiş bir küme için 48 noktaya kadar Gauss kuadraturu (WS).

Bu üç programın tamamı gerçek, sabit noktalı aritmetikte çalışacak şekilde hazırlanmıştır. Buna ek olarak, (b) gerçek, kayan noktalı bir sürümde de mevcuttur. (a) ve (b) yöntemleri sırasıyla dördüncü ve beşinci mertebeden süreçlerdir.

Bir alt program (CV), merkezi fark şemasıyla en fazla 48 değişkenli bir fonksiyonun birinci ve ikinci kısmi türevlerini hesaplar.

ENTERPOLASYON VE EĞRİ UYDURMA

Üç temel enterpolasyon alt programı hazırlanmıştır. İlk program (RW), tek değişkenli herhangi bir tabloya alınmış fonksiyon için Neville yöntemiyle üçüncü dereceden enterpolasyon yapar. Bağımsız değişken eşit aralıklı olmak zorunda değildir ve en fazla 4095 nokta kabul edilebilir. Diğer iki program (CV), iki değişkenli ve üç değişkenli fonksiyonlar için dört noktalı Lagrange enterpolasyonu gerçekleştirir. Bu alt programlar ayrıca birinci kısmi türevler için de enterpole edilmiş değerleri bulur. Yukarıdaki rutinler için hesaplamalar gerçek, sabit noktalı aritmetikte gerçekleştirilir.

Ayrık verilerin eğri uydurulması konusuna önemli ölçüde dikkat edilmiştir. İlişkili normal denklemler kümesini çözmeye dayanan olağan en küçük kareler yöntemine ek olarak, üç terimli bir yineleme bağıntısı [12] ile üretilen ortogonal polinomlar kullanarak uyum sağlayan bir rutin hazırlanmıştır. Ayrıca, minimaks ölçütüne göre polinom uyarlama prosedürü [13] de programlanmıştır. Bu işlemi gerçekleştiren mevcut alt programların bir özeti Tablo VII’de yer almaktadır.

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA

Bir dizi doğrusal kısıt altında doğrusal bir ifadeyi maksimize etmek (minimize etmek) için bir doğrusal programlama rutini (RR) hazırlanmıştır. Benimsenen çözüm yöntemi, Dantzig’e ait Revize Simpleks Yönteminin alternatif algoritmasıdır [14]. Program, katsayılardaki sıfır girişlerden yararlanır ve hesaplama kayan vektör aritmetiği kullanılarak gerçekleştirilir. Kısıt sayısı 106’yı aşamaz ve gevşeklik değişkenleri dâhil değişken sayısı 258’den az olmak zorundadır. Ayrıca, bu iki boyutun çarpımı 15.000’i geçmemelidir.

İSTATİSTİKSEL ANALİZ

Aşağıdaki istatistiksel işlemler programlanmış olup standart alt programlar mevcuttur.

(1) Varyans Analizi

En fazla 7 değişken için, 2 ile 7 arasında değişen ilişkili düzeylere sahip, en çok 1536 gözlem üzerinde bir varyans analizi gerçekleştirir. En fazla 217 etki ve etkileşim olabilir; ancak 2 faktörden fazla etkileşim yoktur. Her değişken, dördüncü dereceye kadar bir ortogonal polinom ile ilişkilendirilebilir. Program (CV) gerçek, kayan noktalı aritmetikte çalışır.

(2) Bir Fonksiyonun Momentleri

Bir fonksiyonun merkezi momentlerini hesaplayan üç alt program (CV) mevcuttur. Bunlardan ilki ortalamayı, standart sapmayı, ikinci ile sekizinci merkezi momentleri, çarpıklığı ve basıklığı bulur. Ayrıca bir histogram da sağlanır.

İkinci rutin, en fazla 15 değişkenli bir fonksiyonun ilk dört merkezi momentini yaklaşıklı olarak hesaplar. Fonksiyonun ortalaması ve standart sapması da elde edilir. Bağımsız değişkenin ilk sekiz merkezi momentinin yanı sıra fonksiyonun birinci ve ikinci kısmi türevlerinin bilinmesi gereklidir.

Son olarak, her biri için aynı nicelikler verilmiş olmak üzere, en fazla 15 bağımsız değişkenli bir fonksiyonun n değişkenli ortalaması ile ikinci, üçüncü ve dördüncü merkezi momentleri tahmin edilir. Her bir değişkenin dağılımını temsil etmek için değiştirilmiş bir Edgeworth serisi ile birlikte Monte Carlo tekniği kullanılır. Bu programların tümü gerçek, kayan noktalı aritmetikte çalışır.

(3) Çoklu Regresyon ve Korelasyon

Bu program (RR), her biri için en fazla 400 gözlem olmak üzere 30’a kadar bağımsız ve bağımlı değişken için bir regresyon analizi gerçekleştirir. Temel regresyon katsayılarına ek olarak çeşitli istatistiksel büyüklükler hesaplanır. Rutin, sabit ve kayan noktalı gerçek aritmetiği en uygun biçimde birlikte kullanır.

(4) Otokorelasyon

İki alt program (AP, RW), gerçek, sabit noktalı aritmetik kullanarak verilen bir gecikme m için otokorelasyon fonksiyonunun bir tahminini hesaplar. En fazla 16.000 nokta kabul edilebilir ve m, kullanılan rutine bağlı olarak 850 veya 2047’den küçük olacak şekilde sınırlandırılmıştır.

(5) Güç Spektral Yoğunluğu

İki alt program (AP, RW), J. Tukey [15] tarafından geliştirilen tekniği kullanarak, bir zaman serisiyle ilişkili otokorelasyon fonksiyonu değerlerinden güç spektral yoğunluk fonksiyonunu tahmin eder. Zaman serisi, iki fonksiyonun Fourier dönüşümü ile ilişkili olmasını gerektirir. Otokorelasyon fonksiyonu değerlerinin sayısı 2047 ile sınırlıdır ve hesaplama gerçek, sabit noktalı aritmetik ile gerçekleştirilir.

(6) Rastgele Sayı Üretimi

Sahte rastgele sayılar konusu en az beş farklı alt programda (CV, OR, RR, RW, WS) ele alınmıştır. Bunların tümü sabit noktalı aritmetik ile çalışır ve rastgelelik derecesini denetlemek için testler yapılmıştır. Tüm programlar, Lehmer [16] ve Juncosa [17] tarafından tanımlanan bir yöntemi kullanır. Bu kapsamda düzgün (uniform), normal ve negatif üstel (e^-x) dağılımlar yer almaktadır. Buna ek olarak, Fibonacci serisini [18] kullanan ve normal sapmalar üreten bir rutin (AP) de mevcuttur.

SONUÇLAR

Bu makalede sunulan bilgiler, UNIVAC Scientific Computers kullanıcılarının çeşitli sorularına verilen yanıtların bir özetidir. Bu alt programların çoğu, daha yeni 1103A yerine 1103 üzerinde çalışacak şekilde tasarlanmış olsa da, günümüzde etkinliğin büyük bir bölümü ikinci makine için programların geliştirilmesine ayrılmaktadır. Bu çabada önemli bir rol, matematiksel alt programları teşvik eden ve koordine eden USE (UNIVAC Scientific Exchange) kuruluşunun Matematik Komitesi tarafından üstlenilmektedir.

TABLOLAR

Tablo I: UNIVAC Bilimsel Bilgisayarlarının Özellikleri (Nisan 1957)

Aşağıdaki tabloda yer alan her bir satır şunları göstermektedir: Özellik / 1103 makinesi için rapor / 1103A makinesi için rapor. Eğik çizgiler ( / ), olağan tablolardaki dikey ayırıcı çizgilerin karşılığıdır.

Teslim edilen makine sayısı / 11 / 6
Sipariş edilen makine sayısı / 0 / 13
İlk makinenin teslim tarihi / Ekim 1953 / Ekim 1956
Sözcük uzunluğu / 36 bit / 36 bit
Yüksek Hızlı Bellek Kapasitesi / 1024 sözcük, elektrostatik; 1024 sözcük, manyetik çekirdek / 4096, 8192 veya 12.288 sözcük, manyetik çekirdek
Manyetik Tambur Bellek Kapasitesi / 16.384 sözcük / 16.384 sözcük (en fazla 2 birim)
Manyetik Bant Bellek Kapasitesi / Her biri 65.386 sözcük olan dört birim / Her biri 326.000 sözcük olan en fazla 10 uniservo (384.000 sözcük isteğe bağlı)
Temel Giriş / Kağıt bant, delikli kartlar / Manyetik bant, kağıt bant, delikli kartlar
Temel Çıkış / Kağıt bant, delikli kartlar, flexowriter, satır yazıcı / Manyetik bant, kağıt bant, delikli kartlar, flexowriter, satır yazıcı
Kayan nokta / Yok / İsteğe bağlı
Mikrosaniye cinsinden Çalışma Hızları / 36–66, toplama; 266, çarpma; 490, bölme / Sabit nokta: 32–60, toplama; 259, çarpma; 486, bölme. Kayan nokta: 156–308, toplama; 182–386, çarpma; 650–660, bölme

Tablo II: Mevcut Temel Fonksiyon Alt Programlarının Özeti

Aşağıdaki tabloda yer alan her bir satır şunları göstermektedir: Fonksiyon alt programı türü / Kullanılan yöntem / Sabit noktalı aritmetik kullanılıyor mu? Kayan noktalı aritmetik kullanılıyor mu?

Y^x / Newton–Raphson yinelemesiyle birleştirilmiş rasyonel fonksiyon yaklaşımı / sabit, kayan
n√x / Newton–Raphson / sabit, kayan
sin(πx/2), cos(πx/2) / Chebyshev uyumu / sabit, kayan
sin x, cos x / Sayfa No. 14 ve 16*; Taylor serisi / sabit, kayan
sin⁻¹ x, cos⁻¹ x / Sayfa No. 39; iyileştirmelerle Taylor serisi / sabit, kayan
tan x / sin x / cos x (−75° ≤ x ≤ 75°); değiştirilmiş Taylor serisi / sabit, kayan
tan⁻¹ x / Sayfa No. 13; sürekli kesir açılımı; Taylor serisi / sabit, kayan
logₑ x / Sayfa No. 42 ve 56; mini-max uyumu / sabit, kayan
log₂ x / Sayfa No. 42 / sabit
e^x / Sayfa No. 20; sürekli kesir açılımı; mini-max uyumu / sabit, kayan
e^−x / Sayfa No. 59 / sabit
2^x / Sayfa No. 20 / kayan

*Sayfa numaraları, kaynak [1]’de yapılan tanımlamaya karşılık gelmektedir.

Tablo III: Doğrusal Denklem ve Matris Tersleme Alt Programlarının Özellikleri

(AX = B, AX = I)

Aşağıdaki tabloda yer alan her bir satır şunları göstermektedir: Yöntem ve kaynak / Aritmetik, mantissa bit sayısı, üs bit sayısı / Doğrusal sistem çözme kapasitesi / Matris tersleme kapasitesi / Özel düzenekler ve sınırlamalar.

Gauss Eliminasyonu (RW) / gerçek sabit aritmetik, 35 mantissa biti / n ≤ 179 / n ≤ 104 / satır değişimiyle pivot belirler
Gauss Eliminasyonu (RW) / gerçek kayan aritmetik, 27 mantissa biti, 8 üs biti / n ≤ 179 / n ≤ 104 / satır değişimiyle pivot belirler
Gauss Eliminasyonu (RW) / gerçek kayan aritmetik, 62 mantissa biti, 8 üs biti / n ≤ 103 / n ≤ 52 / satır değişimiyle pivot belirler
Gauss Eliminasyonu (RW) / karmaşık kayan aritmetik, 27 mantissa biti, 8 üs biti / n ≤ 103 / n ≤ 52 / satır değişimiyle pivot belirler
Gauss Eliminasyonu (RR) / gerçek kayan aritmetik, 27 mantissa biti, 8 üs biti / — / n ≤ 30 / yalnızca simetrik matrislerin tersini bulur; X₀ hesaplanan tersini Xₖ₊₁ = Xₖ(2 − AXₖ) üzerinde yineleme yaparak iyileştirme seçeneği
Crout (CV) / gerçek kayan aritmetik, 35 mantissa biti, 35 üs biti / n ≤ 51 / n ≤ 51 / Ax = b çözümünün X₀ değerini AXₖ₊₁ = b − A∑ᵢ₌₀ᵏXᵢ üzerinde yineleme yaparak iyileştirir
Jordan (WS) / gerçek kayan aritmetik, 27 mantissa biti, 8 üs biti / n ≤ 63 / n ≤ 63
Gauss–Seidel (WS) / gerçek sabit aritmetik, 35 mantissa biti / n ≤ 23 / — / A’nın pozitif tanımlı olduğu Ax = b denklemini çözer

Tablo IV: Matrislerin Özdeğer ve Özvektörlerini Bulmak İçin Mevcut Alt Programlar

Aşağıdaki tabloda yer alan her bir satır şunları göstermektedir: Yöntem ve kaynak / Aritmetik, mantissa bit sayısı, üs bit sayısı / Kapasite / Özel düzenekler ve sınırlamalar.

Jacobi dönel yöntemi (RW) / gerçek sabit aritmetik, 35 mantissa biti / özdeğerler ve özvektörler için n ≤ 38 (1103A’da 75); yalnız özdeğerler için n ≤ 40 (1103A’da 85) / yalnızca gerçek simetrik matrisler
Hestenes–Karush yaklaşık en iyi gradyan yöntemi (CV) / gerçek kayan aritmetik, 35 mantissa biti, 35 üs biti / n ≤ 64 / sıfır girişlerden yararlanır; yalnızca gerçek simetrik matrisler
Leppert yöntemi (CV) / karmaşık kayan aritmetik, 35 mantissa biti, 35 üs biti / n ≤ 10 / keyfi karmaşık matrislerin özdeğerleri; özdeğerler farklı olmalıdır
Leppert yöntemi (RW) / karmaşık kayan aritmetik, 62 mantissa biti, 8 üs biti / n ≤ 20 / yukarıdakiyle aynı sınırlamalar
Determinant değerlendirmesiyle kökler (RW) / karmaşık kayan aritmetik, 27 mantissa biti, 8 üs biti / üç diyagonal matris n ≤ 219 (n ≤ 72 için etkilidir); dolu matris n ≤ 73 (n ≤ 15 için etkilidir) / |A − λI| = 0 denkleminin köklerini bulur
Lanczos çift-ortogonalizasyon yöntemi (RW) / karmaşık kayan aritmetik, 27 mantissa biti, 8 üs biti / n ≤ 20 / üç diyagonal forma indirger, ardından determinant değerlendirmesi uygular
Danilewski yöntemi (RW) / gerçek veya karmaşık kayan aritmetik, 27 veya 62 mantissa biti, 8 üs biti / aritmetiğe bağlı olarak n ≤ 128’e kadar / karakteristik denklem yaklaşımı
Wielandt (RW) / karmaşık kayan aritmetik, 27 mantissa biti, 8 üs biti / n ≤ 32 / verilen özdeğer ve özvektör tahminlerini iyileştirir
Genelleştirilmiş özdeğer problemi (RW) / karmaşık kayan aritmetik, 27 mantissa biti, 8 üs biti / g + 2n ≤ 147 / A(x) için determinant değerlendirmesi
Kuvvet yöntemi (RW) / karmaşık kayan aritmetik, 27 mantissa biti, 8 üs biti / n ≤ 50 / hızlandırma ve deflasyon uygulanır
Kuvvet yöntemi (NA) / gerçek vektör kayan aritmetik, 35 mantissa biti, 15 üs biti / n ≤ 25 / yalnızca baskın özdeğer ve özvektör

Tablo V: Fonksiyonların Sıfırlarını Bulmak İçin Mevcut Alt Programlar

Aşağıdaki tabloda yer alan her bir satır şunları göstermektedir: Yöntem ve kaynak / Aritmetik / Kapasite / Özel düzenekler ve sınırlamalar.

Ward’ın aşağı eğimli yöntemi (WS) / karmaşık kayan aritmetik, 27 mantissa biti, 8 üs biti / n ≤ 63 / deflasyonlu polinom kökleri
Muller yöntemi I (RW) / karmaşık kayan aritmetik, 27 mantissa biti, 8 üs biti / n ≤ 150 / polinom kökleri; Newton–Raphson iyileştirmesi
Muller yöntemi II (RW) / karmaşık kayan aritmetik, 27 mantissa biti, 8 üs biti / — / keyfi fonksiyonlar; değiştirilmiş deflasyon
Newton–Raphson (CV) / karmaşık kayan aritmetik, 27 mantissa biti, 8 üs biti / n ≤ 50 / ikinci dereceden Taylor terimi içerir; polinom deflasyonu

Tablo VI: Adi Diferansiyel Denklemlerin İntegrasyonu İçin Mevcut Alt Programlar

Aşağıdaki tabloda yer alan her bir satır şunları göstermektedir: Yöntem ve kaynak / Aritmetik, her mantissadaki bit sayısı, her üste ait bit sayısı / Kapasite / Özel düzenekler ve sınırlamalar.

Sayısal İntegrasyon Yöntemleri

Runge–Kutta (RW) / gerçek sabit aritmetik 35 mantissa biti; gerçek kayan 27 mantissa biti ve 8 üs biti; karmaşık kayan 27 mantissa biti ve 8 üs biti / Manyetik tambur kullanıldığında kapasite esasen sınırsızdır. 84. mertebeye kadar sistemler çözülmüştür / Depolama gereksinimini azaltmak için Gill’in değişikliğini kullanır. Ayrıca, sabit noktalı sürüm yuvarlama hatasının denetimi için Gill’in düzeneklerini benimser.

Değiştirilmiş Euler Yöntemi (BO) / gerçek kayan aritmetik, 27 mantissa biti, 8 üs biti / 11–10 / Adım uzunluğu, gerekli doğruluğa göre belirlenir.

Adams–Moulton Öngörücü–Düzeltici (RW) / gerçek kayan aritmetik, 27 mantissa biti, 8 üs biti / yalnızca bellek kapasitesiyle sınırlıdır / Program, gerekli doğruluğa göre en uygun adım aralıklarını seçer. Başlangıç için değiştirilmiş Euler yöntemini kullanır.

Tablo VII: Eğri Uydurma İçin Mevcut Alt Programlar

Aşağıdaki tabloda yer alan her bir satır şunları göstermektedir: Yöntem ve kaynak / Aritmetik, mantissa bit sayısı, üs bit sayısı / Açıklama ve sınırlamalar.

Mini-Max, tek değişken (RW) / gerçek sabit aritmetik, 35 mantissa biti, üs biti yok / Tablo noktaları üzerinde polinomun maksimum hatasını en aza indirecek şekilde belirtilen derecede (≤16) bir polinom bulur. Noktalar eşit aralıklı olmalı ve sayıları 582’den az olmalıdır.

En Küçük Kareler I, tek değişken (RW) / gerçek sabit aritmetik, 35 mantissa biti, üs biti yok / Tablo verilerini, en küçük kareler ölçütüne göre derecesi ≤63 olan polinomlarla uydurur. Ortogonal polinomlar kullanan üç terimli bir yineleme bağıntısı uygulanır. Veri noktaları eşit ya da eşit olmayan aralıklı olabilir ve 300’den az olmakla sınırlıdır.

En Küçük Kareler II, tek değişken (CV) / gerçek kayan aritmetik, 35 mantissa ve 35 üs biti / Tablo verilerini, en küçük kareler ölçütüne göre ya derecesi ≤6 olan bir polinom f(x) ya da bir üstel eğri e^{f(x)} ile uydurur. Veri noktaları eşit ya da eşit olmayan aralıklı olabilir. Nokta sayısı 2500 ile sınırlıdır.

En Küçük Kareler I, n değişkenli (RW) / gerçek kayan aritmetik, 27 veya 62 mantissa biti, 8 üs biti / Tablo verilerini, en küçük kareler ölçütüne göre bağımsız değişkenlerdeki basit analitik ifadelerin doğrusal birleşimiyle uydurur. Program, Gram–Schmidt ortogonalizasyon yöntemini kullanır. Nokta sayısı N, yalnızca tambur belleğinin kapasitesiyle sınırlıdır.

En Küçük Kareler II, n değişkenli (CV) / gerçek kayan aritmetik, 35 mantissa ve 35 üs biti / Tablo verilerini, normal denklemlerin çözümü olarak elde edilen, belirli derece p’de n değişkenli bir polinomla en küçük kareler ölçütüne göre uydurur. Program, özel n = 4, p = 2 problemi ve 44 nokta için tasarlanmıştır. Diğer varyasyonlar basit değişikliklerle ayarlanabilir.

Kaynakça

Hastings, Jr., C., Approximations for Digital Computers, Princeton University Press, 1955.
Householder, A. S., Principles of Numerical Analysis, McGraw-Hill Book Co., Inc., 1953.
Jacobi, C. G. J., Ein leichtes Verfahren, die in der Theorie der Säkularstörungen vorkommenden Gleichungen numerisch aufzulösen, J. reine angew. Math., 30 (1846), s. 51–94.
Gregory, R. T., Computing eigenvalues and eigenvectors of a symmetric matrix on the ILLIAC, MTAC, 7 (1953), s. 215–220.
Hestenes, M. R., ve Karush, W., A method of gradients for calculation of characteristic roots and vectors of a real symmetric matrix, Journal of Research, National Bureau of Standards, 47 (1951).
Frank, W. L., ve Tarnove, I., Eigenvalue problems in modern industry II: computing techniques for matrices. Proceedings of the IBM–NYU Symposium on Applications of Computing in the Aircraft Industry’de yayımlanacaktır, New York, Ocak 1957.
Ward, J. A., The down-hill method of solving a polynomial equation, Association for Computing Machinery toplantısında sunulan bildiri, University of California, Los Angeles, Ağustos 1956.
Muller, D. E., A method for solving algebraic equations using an automatic computer, MTAC, 10 (1956), s. 208.
Gill, S., A process for the step-by-step integration of differential equations in an automatic digital computing machine, Proc. Camb. Phil. Soc., 47 (1951).
Hildebrand, F. B., Introduction to Numerical Analysis, McGraw-Hill, 1956.
Milne, W. E., Numerical Calculus, Princeton University Press, 1947, Bölüm IV.
Forsythe, G. E., Generation and use of orthogonal polynomials for data fitting with a digital computer, J. Soc. Industrial Appl. Math., 1957 (basılacak).
de La Vallée Poussin, C., Leçons sur l'Approximation des Fonctions d'une Variable Réelle, Gauthier-Villars, Paris, 1952.
Dantzig, G. B., ve Orchard-Hays, W., Alternate algorithm for the revised simplex method using a product form for the inverse, Rand Corporation Research Memorandum No. 1268, Kasım 1953.
Tukey, J., ve Press, M., Power spectral methods of analysis and application in airplane dynamics, Bell Telephone System Technical Publications, Monograph 2606.
Lehmer, D. H., Mathematical methods in large-scale computing units, Proceedings of a Second Symposium on Large-Scale Digital Calculating Machinery; The Annals of the Computation Laboratory of Harvard University, Cilt XXVI, 1951.
Juncosa, M. L., Random number generation on the BRL high-speed computing machines, Ballistics Research Laboratories Rapor No. 855, 1953.
Taussky, O., ve Todd, J., Generation of pseudo-random numbers, Symposium on Monte Carlo Methods, Wiley, 1956.