Robotların Grup Davranışı
Manfred Kochen
Robotlar ve Otomatlar: Kısa Bir Tarihçe
James T. Culbertson
Robotların Grup Davranışı
Manfred Kochen
International Business Machines Corp.
Poughkeepsie, N. Y.
(Bu makalenin içeriği, Eylül 1955’te Philadelphia’da yapılan Association for Computing Machinery toplantısında sunulan “Networks of Multipole Sequence Transducers” başlıklı bir dersin parçası olarak sunulmuştur.)
Giriş
Sosyal gruplar içindeki insanların davranışı, her bir bireyin davranışı doğru ve tutarlı biçimde tanımlanabilse bile, son derece karmaşıktır. Matematiksel ve diğer türden modellerin kurulması ve çözümlenmesi, zor kavramsal, mantıksal ve ampirik problemler ortaya koyar. Büyük ve yüksek hızlı dijital bilgisayarların kullanımıyla grup davranışının simülasyonu, bu problemleri daha belirgin hâle getirmeye hizmet edebilir ve sosyal bilimcinin temel kavramlarını ve varsayımlarını daha kesin biçimde formüle etmesine yardımcı olabilir. Ayrıca, bilgisayarların bu şekilde kullanımı, model geliştiren kişinin karşılaştığı ve çoğu zaman mevcut analitik bilginin kapsamı dışında kalan matematiksel problemlerin çözümünde de yardımcı olabilir. Ancak en önemli olan, gerçek deney yapmanın ya da gözlemin çok daha maliyetli olduğu, hatta olanaksız bulunduğu durumlarda, deneysel bir durumu bilgisayar içinde yansıtarak modellerin “sınanması” olanağıdır (örneğin, Monte Carlo yöntemleri). Burada rapor edilecek sayısal deneyler, toplumsal etkileşime ilişkin son derece idealleştirilmiş bir modelin bir bilgisayar programı aracılığıyla somut biçimde hayata geçirilmesini göstermektedir.
Kavramsal Çerçeve
Deneyleri tanımlamak ve bilgisayar simülasyonunun bilim insanını kesin ve sınanabilir kavramlar geliştirme konusunda nasıl yönlendirebileceğini göstermek için, deneylerin dayandığı bir modelin bazı temel kavramlarını özetlemek gerekli olacaktır. Model, başka bir yerde daha kapsamlı ve daha titiz bir biçimde geliştirilmiştir.¹ ² Bu modeldeki temel fikirler aşağıda tartışılmaktadır:
- Bir grubun her bir bileşeni ya da bireyi, belirli bir andaki “tepki”sinin ve mevcut “iç durumu”nun, bir önceki andaki “uyarıcı” ve “iç durum” tarafından birlikte belirlendiği biçiminde tanımlanır. Örneğin, bir organizmanın belirli bir andaki “iç durumu” uyku hâli olarak yorumlanırsa ve o anda iğne batması biçiminde bir uyarıcı uygulanırsa, bir sonraki anda iç durumun uyanıklık hâli olma olasılığı yüksektir ve buna bağırma ya da sıçrama biçiminde bir tepki eşlik eder.
İdealleştirilmiş betimlemede, yalnızca iki olası tepki olduğu varsayılır ve bunlar soyut olarak 0 ve 1 ile gösterilir. Bu varsayım, ortaya çıkan matematiksel sadeleşme nedeniyle, dijital bilgisayarların çoğunun ikili doğası nedeniyle ve ayrıca anahtarlama devreleri gibi bazı uygulamalar için uygun olduğundan yapılmıştır. İç durumun da yukarıdaki nedenlerle sonlu sayıda ikili basamakla belirtildiği kabul edilmiştir. Her bir bileşene gelen uyarıcı ya da giriş, diğer bileşenlerin çıktılarından ya da tepkilerinden oluşur. (Olası olarak, bir bileşenin çıktısı bir zaman birimi sonra kendi girdisinin bir parçası olacak şekilde geri beslenebilir.) Dolayısıyla giriş de sonlu sayıda ikili değişkenden ya da bitten oluşur. Bu ikili değişkenlerin tümünün değerleri yalnızca düzenli aralıklarla değişebilir; bu varsayım da yine bilgisayarların eşzamanlı karakteri ve matematiğin sadeliği ile ilişkilidir. Belirli bir andaki tepki (çıktı) ve durum değişkenlerinin, bir önceki saat darbesine karşılık gelen andaki uyarıcı (girdi) ve durum değişkenleri verildiğinde sahip olduğu ortak koşullu olasılık, söz konusu bileşenin davranış fonksiyonu olarak adlandırılır.
Böylece, bir anahtarlama devresinde, 1 tepkisi çıkış terminalinde bir darbenin varlığını, 0 ise darbenin yokluğunu gösterebilir; girişteki 0 ve 1 kümesi, giriş terminallerindeki darbelerin yokluğunu ya da varlığını belirtir; durum değişkenlerindeki 0 ve 1 kümesi ise iç anahtarların ya da ikincil rölelerin (açık ya da kapalı) durumunu temsil eder. Davranış fonksiyonu, anahtarlama ağının topolojisi, anahtarlama elemanlarının davranışını yöneten fiziksel yasalar ve bunların güvenilirlikleri tarafından belirlenir.
Bir başka basit örnek, bir tür sayaç tarafından sağlanır; burada 0 çıktısı, hem girdide hem de “eski” durumda bulunan 1’lerin toplam sayısının çift olduğunu, 1 çıktısı ise tek olduğunu ifade eder; “yeni” durum, daha önce tümü 0 olan bazı değişkenlerin yerine giriş değişkenlerinin geçirilmesiyle elde edilen “eski” durumdan oluşur. İnsan bireylerde, uyarıcılar ikili biçimde kodlanmış sorular olarak yorumlanabilir ve tepki, Hayır (0) ya da Evet (1) yanıtları olarak görülebilir; iç durum ise birikmiş bilgi ya da deneyim durumu olarak yorumlanır. Burada tanımlanan bileşenlerin, Murray tarafından tanıtılan “robotlar” ile benzerliğine dikkat ediniz.³
-
Bir gruptaki N bileşenin tümünün çıktılarının ve iç durumlarının, düzenli aralıklarla ve aynı anda örneklendiği varsayılır. Yani tüm bileşenlerin eylemleri bir sistem saatine eşzamanlı kabul edilir ve tüm çıktılar eşzamanlı olarak gerçekleşir. Grup davranışı, tüm bileşenlerin çıktılar kümesinin zamana göre değişimi ile tanımlanır. Her bir giriş biti bu sistemdeki bir bileşenin çıktısı iken, belirli bir bileşenin iç değişkenleri başka herhangi bir bileşenin iç değişkenlerinden doğrudan etkilenmez. Dolayısıyla, her birinin çıkış terminali bir ya da daha fazla diğerinin giriş terminallerine bağlanmış olan birkaç anahtarlama devresinden oluşan bir sistem ya da bileşenler grubu örnek olarak verilebilir; bu sistemin hiçbir giriş ya da çıkış terminali yoktur.
-
Sistemin örgütsel yapısı (ağ topolojisi), her bir bileşenin hangi diğer bileşenlerden çıktı aldığı tanımlanarak belirtilir. Eğer her bileşen kendisi dışındaki yalnızca bir bileşenden çıktı alıyorsa, yönlendirilmiş bir daire ağı elde edilir. Eğer bir bileşen tüm diğerlerinden bilgi alıyor ve diğerleri yalnızca ondan bilgi alıyorsa, bir tür yıldız ağı elde edilir. Bir başka örnek, her bileşenin diğer tüm bileşenlere bağlı olduğu durumdur.
¹ Kochen, M., “An Information-Theoretic Model of Organizations”, Transactions of the I.R.E., P.G.I.T.-4, s. 67, Eylül 1954.
² Kochen, M., “Organized Systems with Discrete Information Transfer”, Journal of the Association for Computing Machinery, yakında yayımlanacak.
³ Murray, F. J., “Mechanisms and Robots”, Journal of the Association for Computing Machinery, Nisan 1955.
4.
Her birey, uyarıcıya verdiği tepkiye (ya da geçmişe uzanan bunların bir zaman dizisine) göre, Değer fonksiyonları olarak adlandırılan belirli bir ödül çizelgesine göre “ödüllendirilir” ya da “cezalandırılır”. Aşağıda tanımlanacak deneylerden birinde, Değer fonksiyonları şu şekilde betimlenebilir:
N bireyden oluşan bir grupta i’inci bireyi Pi ile gösterelim. Pi, bir önceki anda Pi−1 tarafından verilen 0’a karşılık olarak şu anda 1 (darbe, Evet vb.) ile yanıt verirse ya da Pi−1’in daha önce verdiği 0’a şu anda 1 ile yanıt verirse, şu anda ödüllendirilir; Pi bu şekilde yanıt vermezse, şu anda cezalandırılır.
Pi, ödüllendirilip ödüllendirilmeyeceğini yalnızca Pi−1’den (önceki andaki Pi−1 tepkisinin ne olduğu hakkında) bilgi alabiliyorsa denetleyebilir; bu bilginin Pi’nin girdisinin bir parçası olması gerekir. Eğer Pi’nin davranış fonksiyonu, ödülünü denetleyebildiği her durumda, cezadan ziyade ödülü güvence altına alacak biçimde yanıt vermesini sağlıyorsa, bu davranış fonksiyonunun Pi için Değer fonksiyonuna göre kendine yönelimli olduğu söylenir.
Aşağıdaki deneylerde Değer fonksiyonları belirtilmiştir ve davranış fonksiyonları hakkında yapılan tek varsayım, bunların kendine yönelimli olduğudur. Bu yaklaşım, bazı uygulamalarda, davranış fonksiyonlarının kendileri hakkında kesin varsayımlar yapmaktan daha gerçekçi olabilir.
Tartışılan etkileşim sürecinin erken evrelerinde, Pi’nin tepkisini rastgele seçtiği, yani bir yazı-tura atarak yazı gelirse 1, tura gelirse 0 yanıtını verdiği düşünülebilir. Ancak Pi, sonucu kaydeder. Daha açık olarak, rastgele seçtiği yanıtı, buna eşlik eden uyarıcıyı ve bu yanıtın ödüllendirilip ödüllendirilmediği olgusunu kaydeder.
Böylece Pi’nin iç durumu ya da “belleği”, boş (hiç bilgi saklamayan) durumdan, bu tek deneyim öğesini (üç değişkenden oluşan) saklayan bir duruma değişir. Bir sonraki sefer Pi’ye bir uyarıcı sunulduğunda, Pi’nin belleği bu uyarıcının daha önceki bir gerçekleşmesini bulmak için taranır. Eğer bu uyarıcı daha önce ortaya çıkmamışsa, bellekte bulunamaz ve yanıt yine rastgele belirlenir; sonuç gelecekte başvurulmak üzere yeni bir deneyim öğesi olarak tekrar saklanır.
Ancak, gelen uyarıcı daha önce ortaya çıkmışsa, bellekte saklanmış olacaktır; bu önceki deneyimle ilişkili Değer (ödül ya da ödülsüzlük) bulunur. Eğer bu Değer ödül ise, mevcut çıktı önceki deneyimde verilen yanıtın aynısı olur; eğer Değer ceza ise, mevcut çıktı o zamanki yanıtın tersi olur. Bu, fiilen kullanılan şemadır; ancak kendine yönelimli olan birkaç olası davranış fonksiyonundan yalnızca biridir. Örneğin, önceki deneyimle ilişkili Değer ceza ise, mevcut yanıt yukarıda tanımlandığı gibi tersine değil, rastgele de belirlenebilir.
Yukarıda gayriresmî biçimde ana hatları çizilen kavramsal çerçevenin özellikleriyle ilgili olarak birkaç ilginç soru ortaya atılabilir. En önemli kuramsal özellikler, kendine yönelimli ve diğer tür davranış fonksiyonlarının varlığı ve bunların, örgütsel ağ ile birlikte grup davranışını nasıl belirlediğiyle ilgilidir.
Bileşenler, karmaşık bir bilgi işleme sistemi içinde düzenlenmiş bellek ve hesaplama devreleri (toplayıcılar, Scheffer elemanları vb.) olarak yorumlanırsa, sistem güvenilirliği, verimlilik ve asimptotik davranış gibi sorular kesin biçimde formüle edilebilir ve bazı durumlarda yanıtlanabilir. Ters problem ise, belirli bir grup davranışını gerçekleştirmek üzere robotların davranış fonksiyonlarına göre nasıl seçileceği ve birleştirileceğidir; bu problem, örneğin yönlendirme ve denetim sistemleri gibi karmaşık otomatlarda büyük pratik ve kuramsal ilgi taşır.
Bu tür sentez ve tasarım problemlerinde doğrudan simülasyon yöntemlerinin oldukça değerli olabileceği beklenebilir ve bazı pratik problemler bu yöntemle ele alınmaya başlanmıştır.
Sayısal Deneyler
Bu deneylerin temel amacı, belirli sonuçlar elde etmekten ziyade, dijital bilgisayarların model kurmaya yardımcı mantıksal araçlar olarak kullanılmasına yönelik bir tekniği göstermektir. Bu nedenle, deneyin tasarımında kullanılan programı ve makinenin aritmetik olmayan özelliklerini nasıl kullandığını açıklamak bir ölçüde ilgi çekicidir.
Bilgisayarların bu kullanımı, daha sık analog aygıtlarla ilişkilendirilen simülasyon yöntemleriyle bağlantılıdır; bunun yerine bir dijital bilgisayar kullanıldığında, “sayısal deney” adı kullanılmıştır. Örneğin, öğrenme modellerinin sınanmasında kullanılan Monte Carlo yöntemleri, sayısal deneylere örnektir.
Şekil 1, programın sözel bir akış diyagramını özet olarak vermektedir. Başlangıçta, tepkiler depolanmış rastgele ikili basamaklar tablosundan seçilmiştir. Rastgele sayıların bir alt yordam aracılığıyla sözde rastgele sayılar üretilerek (örneğin, 20 bitlik bir sayının karesini alıp, 40 bitlik çarpımdan ortadaki 20 biti çıkararak ve işlemi yineleyerek) değil de bir tablodan elde edilmesi gerekliydi; bunun nedeni, bu sayıların çok sık gereksinim duyulmasıydı. Ayrıca, P1, …, PN’nin rastgele seçimlerinin birbirlerinden istatistiksel olarak bağımsız olması ve aynı zamanda diğer tüm zamanlardaki bu seçimlerden de bağımsız olması gerekiyordu. Tablo, 0 ve 1 olasılıklarının birbirine neredeyse eşit olduğu şekilde düzenlenmişti.
Her bir Pi, esasen Pi’nin davranış işleviyle ilişkili olan komutları ve değişkenleri içeren bir dizi depolama konumu ile belirlenir. Kullanılan bilgisayar, 1024 adet 40 bitlik sözcükten oluşan yüksek hızlı bellek (Williams tüpleri) ve 2048 sözcüklük daha düşük hızlı bellekten (manyetik tambur) oluşan bir kapasiteye sahipti.
Makinenin tüm kapasitesi kullanılarak, en fazla 32 bileşenden (robot) oluşan, her biri en fazla 8 diğerine bağlı bir ağ içinde, her bir bileşenin 256 adede kadar deneyim öğesini "hatırlamasına" izin vermek mümkündür. Bu, her bir bileşenin aşağıdaki şekilde tanımlandığı anlamına gelir:
- 256 × (8 + 1 + 1) = 2560 ikili durum değişkeni;
- 8 ikili giriş değişkeni;
- 1 ikili çıkış değişkeni;
- Her bir bileşenle ilişkili 1 ikili Değer (ödül) değişkeni.
Bu deneylerin odaklandığı problem şu şekildedir:
Daha önce tanımlanan benmerkezli davranış işlevlerine sahip N adet Değer işlevi verildiğinde, çeşitli örgütsel ağların grup davranışı üzerindeki etkisi nedir?
Ödüller, herhangi bir bileşenle ilişkili olmayan bir alt yordam tarafından atanmıştır ve Değer işlevleri her bir bileşen için aynıydı.
Deney I
N robot, her bir robotun yalnızca sağ ve sol komşusundan bilgi aldığı bir çember ağında bağlanmıştır. N’nin grup davranışı üzerindeki etkisini, yani tüm N çıkışlarının birleşiminin zamana göre değişimini incelemek istenmiştir.
Bu durumda problemi analitik olarak formüle etmek mümkündür, ancak sayısal sonuçların kestirimi yine de zahmetli hesaplamalar içerir. N arttıkça, herhangi bir belirli grup çıkışı zaman dizisinin olasılığının üstel olarak azaldığını göstermek kolaydır. Bu tür sonuçlar, her çalıştırmayı çok sayıda kez, her seferinde farklı bir rastgele sayı tablosu ile yineleyerek, iyi bir örneklem elde etmek amacıyla deneysel olarak sınanabilir.
Bu prosedürü tatmin edici biçimde yürütmek mümkün olmamıştır, çünkü her bir çalıştırma yaklaşık 10–20 dakika makine zamanı almıştır. (Süre, mekanik röleler aracılığıyla tambura erişim süresiyle sınırlıydı; yüksek hızlı bellek içinde hız mikro saniyeler mertebesindedir.)
Aşağıdaki tablo, N = 4 olan bir çember ağı için bir grup çıkışı dizisinin bir örneğini göstermektedir.
| Zaman | Çıkış | Zaman | Çıkış |
|---|---|---|---|
| 1 | 1111 | 9 | 1101 |
| 2 | 1001 | 10 | 0101 |
| 3 | 0110 | 11 | 0100 |
| 4 | 1001 | 12 | 1100 |
| 5 | 0111 | 13 | 1101 |
| 6 | 0101 | 14 | 0101 |
| 7 | 0001 | 15 | 0100 |
| 8 | 0110 | 16 | 1100 |
Belirli bir zamandan sonra grup davranışının periyodik hale geleceği kesin olarak gösterilebilir; yukarıdaki çalıştırmada periyodik döngü şudur:
(1101, 0101, 0100, 1100)
Bu döngünün uzunluğu 4’tür ve ilk kez 9. denemede başlamaktadır. Dört robot, P1, P2, P3 ve P4, periyodiklik başladığı anda sırasıyla 3, 3, 3 ve 4 deneyim öğesi depolamışlardır.
Örneğin, P1 tarafından depolanan ilk öğe, P4 ve P2’nin her ikisinin de önceki tepkilerinin 1 olduğu durumda kendi 1 tepkisinin cezayla (0) sonuçlandığı gerçeğiydi.
Programda kullanılan ödül çizelgesi (Değer işlevleri) şu şekildeydi: Pi, Pi−1 ve Pi+1’in önceki tepkileri 10 veya 01 olduğunda 1 ile, 11 veya 00 olduğunda ise 0 ile tepki verirse sonuç ödül, aksi durumda ceza oluyordu. Başlangıçta, tüm durum değişkenleri 0’a eşit alınmış, tüm girişler ve çıkışlar da 0 olarak ayarlanmıştır.
Aşağıdaki tablo, N = 6, 7, 8 ve 9 olan çember ağları üzerindeki çalıştırmaların sonuçlarını; ayrıca N = 4 için başka bir örneği ve N = 6 için iki örneği göstermektedir. Her bir çalıştırma için tam çıkış dizisini sunmak yerine, aşağıdaki veriler özetlenmiştir:
- Sütun 2, periyodikliğin ilk kez ortaya çıktığı deneme numarasını (zamanı) göstermektedir;
- Sütun 3, döngünün uzunluğunu (periyodu) göstermektedir;
- Sütun 4, P1, …, PN tarafından bu sırayla depolanan deneyim öğelerinin sayısını vermektedir.
| N | Periyodikliğe Kadar Süre | Periyot | Depolanan öğe sayısı |
|---|---|---|---|
| 4 | 8 | 5 | 3,3,3,4 |
| 6 | 25 | 15 | 3,2,2,3,3,1 |
| 6 | 4 | 1 | 4,4,4,4,4,4 |
| 7 | 5 | 8 | 2,3,4,4,3,4,3 |
| 8 | 13 | 12 | 4,4,4,4,4,4,4,4 |
| 9 | 8 | 4 | 4,3,2,3,3,2,3,3,4 |
Deney II
N değeri 5’te sabit tutulmuş ve Şekil 2’deki I, II ve III Ağlarının grup davranışı üzerindeki etkileri incelenmiştir. Bu ağ diyagramlarında (yönlendirilmiş doğrusal grafikler), bir bileşende sonlanan bir ok, bu bileşenin okun çıktığı bileşenden bilgi aldığını göstermektedir.
Ağ I için dört örnek, Ağ II için üç örnek elde edilmiş ve Ağ III üzerinde yalnızca bir çalıştırma yapılmıştır. Yukarıdaki gibi tablolaştırılan sonuçlar şunlardır:
| Ağ | Örnek | Periyoda Kadar Süre | Periyot | Depolanan öğe sayısı |
|---|---|---|---|---|
| I | 1 | 18 | 7 | 8,7,7,9,2 |
| I | 2 | 23 | 1 | 13,13,13,13,1 |
| I | 3 | 20 | 1 | 7,8,4,4,5 |
| I | 4 | 10 | 1 | 7,7,8,8,2 |
| II | 1 | 13 | 1 | 4,2,3,3,4 |
| II | 2 | 13 | 2 | 3,3,4,4,3 |
| II | 3 | 5 | 2 | 3,3,4,3,4 |
| III | 1 | 8 | 1 | 5,1,2,1,1 |
Deney III
Şekil 3’teki IV, V ve VI ağları, N = 7 için, grup davranışı üzerindeki etkileri açısından sınanmıştır. Her bir ağ üzerinde tek bir çalıştırma ile elde edilen sonuçlar aşağıda gösterilmiştir:
| Ağ | Periyodikliğe Kadar Süre | Periyot | Depolanan öğe sayısı |
|---|---|---|---|
| IV | 20 | 1 | 8,10,8,4,4,3,3 |
| V | 12 | 8 | 5,11,12,7,7,6,6 |
| VI | 43 | 7 | 7,22,22,20,20,22,22 |
Tartışma
Bu deneylerde makinenin kapasitesi yalnızca kısmen kullanılmıştır. Daha karmaşık sistemlerde, periyodikliğe ulaşmak için gereken deneme sayısı 256’yı aşarsa, artık yeni deneyim öğeleri depolanamaz. Alternatif bir program, uzak geçmişte depolanmış olan öğeleri silebilir ve böylece serbest bırakılan depolama konumları, en güncel uçta yeni deneyimlenen öğelerin depolanması için kullanılabilir.
Normalde, durum değişkenleri, en son depolanmış olandan başlanarak ve daha uzak geçmişte depolanmış olanlara doğru ilerlenerek, her seferinde bir deneyim öğesi olacak şekilde taranır. Programın kolayca uygulanabilen bir başka varyasyonu, en son depolanmış deneyimlere, daha eski olanlara kıyasla daha fazla ağırlık verilmesidir. Bu, belleğin uzak ucuna doğru ilerledikçe başvurulacak öğe sayısının yoğunluğunu azaltarak gerçekleştirilebilir.
(48. sayfada devamı)
Sonuçlar
Deneysel sonuçlar kabaca şu şekilde özetlenebilir: Belirli bir süreden sonra, grup tepkilerinin zamana bağlı değişimi periyodik hale gelmektedir. Periyot uzunluğu ve periyodikliğin ilk ortaya çıktığı zaman, test edilen durumlar için — dairesel bir ağda bağlanmış 4, 6, 7, 8 ve 9 robot — dahil olan robot sayısıyla ilişkili değildir. Periyodikliğin başlangıcına kadar geçen ortalama süre, ağın karmaşıklığıyla birlikte artmaktadır; ancak periyot büyük ölçüde etkilenmemektedir.
Periyodikliğe ulaşıldığında, robotların iç durum değişkenleri artık değişmez. Bu durum değişkenleri, bir robotun diğerleriyle ve ödül çizelgesiyle etkileşimleri sırasında edindiği birikmiş ve depolanmış deneyimleri belirtir. Bu iç durumun nihai karmaşıklığı, ağın karmaşıklığıyla, özellikle de robotun ağ içindeki konumuyla birlikte artar.
Her bir robota deneyim depolamak için ayrılan depolama kapasitesi yeterince küçükse, periyodiklik oluşmaz ve tepkiler rastgele verilmeye devam eder.
Bu deneyler, dijital bilgisayarların sosyal bilimlerde model kurulumunda yararlı araçlar olarak hizmet edebileceğini göstermektedir. Tartışılan türde bir program, çok karmaşık bir fark denklemleri kümesini yazmanın, bunları çözmekten bahsetmeye bile gerek kalmadan, yerini alabilir. Ayrıca, model kurucusuna varsayımların yanlışlığını kanıtlamada, temel kavram ve kabullerin gözden geçirilmesine rehberlik etmede ve deneysel sonuçlarla karşılaştırılacak verilerin üretilmesinde yardımcı olabilir.
Bu tür programlar, matematiksel düşünce için hiçbir şekilde ikame ya da dayanak değildir; tersine, model kurucusunu asıl ilgi alanı olmayan işlerden kurtarmaları ve böylece verimli kavramların, tanımların, varsayımların, varsayımların sınanmasının, önermelerin ve kanıtlama yöntemlerinin geliştirilmesini içeren üretken matematiksel düşünceye daha fazla çaba ayırabilmesi amaçlanmakta ve beklenmektedir.
Teşekkür: Bu deneylerin 1955 yazında programlandığı ve çalıştırıldığı Princeton, N.J.’deki Institute for Advanced Study’nin Electronic Computer Project birimindeki bilgisayar ve tesislerin kullanımı için burada içtenlikle teşekkür edilir.