← Computers & Automation

The Solution of Boundary Value Problems on a REAC Analog Computer

B
Bilinmeyen Yazar
1957 · Computers and Automation

Bir REAC Analog Bilgisayarında Sınır Değer Problemlerinin Çözümü

M. Yanowitch

REAC® ANALOG BİLGİSAYARINDA SINIR DEĞER PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMܹ

M. Yanowitch²
Reeves Instrument Corp.
New York, N.Y.

ÖZET

Bir elektronik analog bilgisayarın, süperpozisyon yöntemi kullanılarak adi diferansiyel denklemler için sınır değer problemlerinin çözümünde nasıl kullanılabileceği gösterilmektedir. Yöntem, iki kiriş problemine uygulanarak örneklendirilmektedir. Buna eşlik eden bazı avantajlar ve dezavantajlar tartışılmaktadır.

1. Giriş

Adi diferansiyel denklemler için sınır değer problemleri, çoğu zaman bir elektronik analog bilgisayar yardımıyla çözülebilir. Bilgisayar doğal olarak başlangıç değer problemlerini çözen bir aygıt olduğundan, SD problemi önce bir dizi BD problemine indirgenmelidir. Bunu yapmanın en basit yolu deneme-yanılma yöntemidir.

Bu yöntem, bir uç noktadaki verilen koşulları sağlayan çözümler üretmekten ve kalan “başlangıç” değerlerini ve parametreleri, elde edilen çözüm diğer uç noktadaki verilen koşulları da sağlayana kadar değiştirmekten oluşur. Bu düzen, ikinci ve dördüncü mertebeden diferansiyel denklemler için SD problemlerinin çözümünde kullanılmıştır. Ne yazık ki, daha yüksek mertebeden diferansiyel denklemler için yararlı olması pek olası değildir; çünkü başlangıç koşullarının nasıl değiştirileceği genellikle önceden bilinmez. Bununla birlikte, yöntemin önemli bir avantajı, hem lineer hem de lineer olmayan problemlere eşit derecede uygulanabilmesidir.

SD problemlerinin BD problemleri çözülerek elde edilmesinin bir başka yolu süperpozisyon ilkesine dayanır. Elbette yalnızca lineer problemlere uygulanabilir ve diferansiyel denklemin çözümlerinin, verilen tüm sınır koşullarını sağlayacak doğru lineer birleşiminin bulunmasından ibarettir. Diferansiyel denklemin temel bir çözüm kümesi açıkça yazılabildiğinde yöntem idealdir ve bu biçimiyle en azından 1744’ten beri, Euler’in kirişler için titreşim frekanslarını ve kritik yükleri hesaplamakta kullanmasından bu yana uygulanmaktadır. Ancak genel durumda çözümler bilinmez ve bunların hesaplanması zahmetli olabilir. Süperpozisyon yöntemiyle birlikte analog bilgisayarın değeri, gerekli çözümleri üretmede sağladığı kolaylıktan kaynaklanır.

Bu çalışma, Reeves Instrument Corporation bünyesindeki Project Cyclone’da, ABD Donanması Havacılık Bürosu NOas-54-545-c sözleşmesi kapsamında gerçekleştirilmiş ve 16 Eylül 1955’te Philadelphia’da yapılan Association for Computing Machinery toplantısında sunulmuştur.

² Reeves Instrument Corporation, 215 East 91st St., New York, N.Y. (Bu raporun kopyaları istek üzerine temin edilebilir.)

³ Aşağıdaki kısaltmalar kullanılacaktır: IV – başlangıç değeri, BV – sınır değeri, EV – özdeğer ve DE – diferansiyel denklem.

Bu makalede, bu yöntemin kullanımına ilişkin deneyimlerimiz anlatılacaktır. İzleyen iki bölümde yöntem, kiriş teorisindeki iki probleme uygulanarak gösterilecektir. Bu problemler için bilgisayar kurulumu Bölüm 4’te verilecek; son bölüm ise yöntemin bazı avantaj ve dezavantajlarının tartışılmasına ayrılacaktır.

2. Sınır Değer Problemi

Tipik bir sınır değer problemi, uzunluğu L olan bir ankastre kirişin, şiddeti f(x) olan enine bir yük altındaki sehimini bulmaktır. Kirişin ayrıca x = x₁ noktasında elastik bir mesnete oturduğunu varsayalım. Diferansiyel denklem ve sınır koşulları şunlardır:

[(EI_b u'')'' = f]

[u = u' = 0 \quad \text{at } x = 0]

[u'' = u''' = 0 \quad \text{at } x = L]

Buna ek olarak şu koşul vardır:

[[ (EI_b u'')' ] + ku = 0 \quad \text{at } x = x₁]

Burada x, sabit uçtan ölçülen kiriş boyunca mesafedir; u(x) kirişin sehimidir; EI_b(x) eğilme rijitliğidir; k mesnet yay sabitidir ve [g], x = x₁ noktasında g’nin değerindeki sıçramayı ifade eder.

Problem bilgisayarda aşağıdaki şekilde çözülebilir:

a. Sıçrama koşulunu sağlayan, homojen olmayan denklemin bir çözümü v elde edilir. Başlangıç koşulları keyfi olarak atanabilir, ancak şu seçimin yapılması uygundur:

[v = v' = v'' = v''' = 0 \quad \text{at } x = 0]

x = L’de v'' ve v''' değerleri ölçülür.

b. Aşağıdaki homojen denklemin,

[(EI_b u'')'' = 0]

sıçrama koşulunu ve x = 0’daki verilen koşulları sağlayan, lineer olarak bağımsız iki çözümü u₁ ve u₂ üretilir. x = 0’daki diğer değerler şu şekilde ayarlanabilir:

  • u₁'' = A₁, u₁''' = 0
  • u₂'' = 0, u₂''' = A₂

Şimdi x = L’de uⱼ'' ve uⱼ''' değerleri ölçülür.

c. Artık, C₁u₁ + C₂u₂ lineer birleşiminin şu koşulları sağlaması için iki sabit C₁ ve C₂ bulunabilir:

[C₁u₁''(L) + C₂u₂''(L) = -v''(L)]

[C₁u₁'''(L) + C₂u₂'''(L) = -v'''(L)]

Açıkça:

[u = v + C₁u₁ + C₂u₂]

ifadesi, verilen sınır ve sıçrama koşullarıyla özgün problemin çözümüdür. x = 0’da:

[u = u' = 0, \quad u'' = C₁A₁, \quad u''' = C₂A₂]

Bu değerler artık bilgisayara girilebilir ve çözüm u elde edilir.

Az önce tanımlanan işlem, herhangi bir düzenli lineer SD problemi için kullanılabilir. Mertebesi 2n olan bir denklem için, Cᵢ sabitleri için en fazla n lineer cebirsel denklemin çözümünü gerektirir. Dört ya da beş lineer denklemlik sistemler masa tipi bir bilgisayar kullanılarak hızlı ve kolay biçimde çözülebildiğinden, yöntemin en azından 8 ya da 10. mertebeden diferansiyel denklemler için pratik olduğu görülmektedir.

3. Özdeğer Problemi

Bir ankastre kirişte, eğilme ve burulmanın bağlaşık titreşimlerinin frekanslarını ve modlarını bulma problemi, altıncı mertebeden bir sistem için bir özdeğer problemine götürür:

[(EI_b u'')'' - (GJ \theta')' = \lambda(mu + s\theta)]

[(GJ \theta')' = \lambda(su + I\theta)]

Sınır koşulları:

[u = u' = \theta = 0 \quad \text{at } x = 0]

[u'' = u''' = \theta' = 0 \quad \text{at } x = L]

Burada:

  • EI_b(x): eğilme rijitliği
  • GJ(x): burulma rijitliği
  • m(x): birim uzunluk başına kütle
  • s(x): elastik eksene göre birim uzunluk başına birinci moment
  • I(x): elastik eksene göre birim uzunluk başına atalet momenti
  • u(x): eğilme genliği
  • θ(x): burulma genliği
  • λ: titreşimin açısal frekansının karesi

Bu problemin özdeğerleri ve özfonksiyonları ardışık yaklaşımlar yoluyla bulunabilir. Bir λ değeri seçilir ve x = 0’daki istenen koşulları sağlayan üç lineer olarak bağımsız çözüm üretilir. Örneğin:

  • u'' = A₁, u''' = 0, θ' = 0
  • u'' = 0, u''' = A₂, θ' = 0
  • u'' = 0, u''' = 0, θ' = A₃

x = L’de u'', u''' ve θ' değerleri ölçülür ve determinant D hesaplanır. Bu determinant, λ’nın sürekli (hatta analitik) bir fonksiyonudur ve ancak ve ancak λ bir özdeğer ise sıfır olur. Eğer D’nin iki farklı λ değerinde zıt işaretlere sahip olduğu bulunursa, aralarında bir özdeğer bulunduğu hemen anlaşılır. Gerekli doğruluk elde edilene kadar süreç sürdürülür.

Özdeğer belirlendikten sonra, D = 0 koşulu bir özfonksiyon üretmek için bir başlangıç değerleri kümesi verir. Her uçta n koşulu olan 2n mertebeden bir diferansiyel denklem için, işlem n mertebesinde birkaç determinantın hesaplanmasını gerektirir. Sonuç olarak, 8 veya daha yüksek mertebeden diferansiyel denklemler için pratik görünmemektedir.

4. Bilgisayar Kurulumu

Bölüm 2 ve 3’te açıklanan problemler için bilgisayar kurulumunun şematik diyagramları Şekil 1 ve 2’de gösterilmiştir. Programlamanın oldukça doğrudan olduğu kolayca görülebilir. Bu türden, ancak sabit katsayılı (yani düzgün kirişler için) birkaç problem Project Cyclone’da çözülmüştür. Bunlar için, kiriş uzunluğunu temsil eden zaman aralığı genellikle 5 veya 10 saniye olarak seçilmiş ve bu sürenin sonunda bilgisayarı HOLD konumuna alacak bir röle düzenlenmiştir. Gerekli gerilimler daha sonra 0.01 volta duyarlı bir dijital voltmetre ile ölçülmüş, böylece hesaplamalarda kullanılan büyüklükler genellikle dört anlamlı basamakla bilinmiştir.

Bilgisayarda çözülen problemler için özdeğerlerin hata payının %0.3’ten az olduğu bulunmuştur. Doğru başlangıç değerleri hesaplandıktan sonra elde edilen çözümler, verilen SD’yi genellikle 0.01 veya 0.02 volt içinde sağlamıştır. Elbette, değişken katsayılı diferansiyel denklemler durumunda daha elverişsiz sonuçlar beklenebilir. Bazı örnek çözümler Şekil 3’te gösterilmiştir. Bunlar, düzgün bir ankastre kiriş için ilk dört bağlaşık modun ve bunların türevlerinin çizim tablası izlerini temsil eder ve aşağıdaki diferansiyel denklemlerle tanımlanır:

[ u^{(iv)} = \lambda^4 (u + 0) ] [ u' = \lambda^4 (u + 5\theta) ]

Genellikle yaklaşık 70 rps. Bölüm 4’e bakınız.

Bilgisayar sembollerinin bir tablosu ekte verilmiştir.

Bu, integrasyonu durdurur ve elde edilmiş olan gerilimleri korur.

Bilgisayarlar ve Otomasyon

Bu ve diğer 6. mertebeden EV problemleri için, λ’nın 6 ile 11 arasında deneme değerinin gerekli olduğu bulunmuştur. Bu özdeğerlerin her birini elde etmek için gereken toplam süre yaklaşık bir saatti.

5. Sonuç Değerlendirmeleri

Yöntemle ilgili deneyimler, onun birçok problemde oldukça yararlı olabileceğini göstermektedir. Olumlu özellikleri arasında şunlar vardır:

  1. Görece hızlı ve doğrudur. Programlama ve bilgisayar kurulumu genellikle basittir ve yalnızca az miktarda hesaplama donanımı gerektirir.

  2. Yöntem yalnızca problemin çözümünü değil, aynı zamanda ((n-1)). mertebeye kadar olan türevlerini de verir (mertebesi (n) olan bir diferansiyel denklem için). Örneğin, bir kirişin eğilmesi probleminde sehim, eğim, eğilme momenti ve kesme kuvveti yaklaşık olarak eşit doğrulukta elde edilebilir. Bu durum diğer yöntemlerde sık görülmez. Örneğin, Rayleigh–Ritz yöntemi gibi varyasyonel yöntemlerde, daha yüksek türevlerin doğruluğu çok kötü olabilir. Hatta ardışık yaklaşımların daha yüksek türevleri hiç yakınsamayabilir.

  3. Yöntem, içinde λ’nın birkaç kuvvetini içeren diferansiyel denklemler için özellikle değerli olabilir; örneğin burulmuş bir milin burkulması için olan diferansiyel denklemde olduğu gibi:

[ a u^{(iv)} + \beta u'' = -2\lambda u'' - \gamma u ]

Sonlu fark yöntemlerinin bu tür problemlere uygulanması, elemanları λ’nın polinomları olan matrislere yol açar ve bunların çözümü, alışılmış matris özdeğer problemlerine göre daha zordur.

  1. Yöntem, öz-adjoint olmayan diferansiyel denklemlere de uygulanabilir ((\lambda) gerçek olmak koşuluyla).

Yöntemin uygulanmasındaki en ciddi dezavantajlar şunlardır:

  1. Bazı problemlerde yalnızca ilk birkaç özdeğer elde edilebilir. Bu durum, örneğin kiriş titreşim problemlerinde geçerlidir. Bunun nedeni, diferansiyel denklemin çözümlerinin üstel olarak büyüyen terimler içermesi ve bunların λ ile birlikte artmasıdır. Bazen bu durum, (u = e^{\alpha x} v) dönüşümü kullanılarak ve v için çözüm yapılarak çok da zor olmadan giderilebilir. α sabiti, v’nin çok hızlı büyümemesi için ayarlanır. Elbette, uygulamalı mekaniğin birçok probleminde bu zorluk ortaya çıkmaz; örneğin dairesel kemerlerin ve elastik zemin üzerindeki kirişlerin stabilitesi problemlerinde olduğu gibi.

  2. Doğru fonksiyon üretimi bazen zor olabilir. Bu, muhtemelen değişken katsayılı diferansiyel denklemler için problemlerdeki başlıca hata kaynağını temsil eder. Bununla birlikte, çoğu zaman hatanın büyüklüğü hızlıca saptanabilir. Örneğin, bir kirişin titreşim frekansları için üst ve alt sınırlar, EI_b(x)’i yukarıdan ve m(x)’i aşağıdan yaklaştırarak ve bunun tersini yaparak kolayca elde edilebilir.

Bkz. 5.

Kaynakça

  1. Elektronik Diferansiyel Analizörün Özdeğer Problemlerine Uygulanması, G. Corcos, T. Howe, U. Rauch ve J. Sellers. Project Cyclone Symposium II, Bölüm 2, 1952, ss. 17–24.
  2. Kesme ve Dönel Ataleti de İçerecek Şekilde Kirişlerin Salınımına Elektronik Diferansiyel Analizörün Uygulanması, C. Howe ve R. Howe. Journal of Applied Mechanics, Cilt 22, 1955, ss. 13–19.
  3. Alternatif Bir Alanda Bir Dielektrikte Geçici Sıcaklık Dağılımının Değerlendirilmesi, C. Copple, D. R. Hartree, A. Porter ve H. Tyson. Journal of the Institution of Electrical Engineers, Cilt 85, 1939, ss. 56–66.
  4. A. N. Krylov’un Toplu Eserleri (Rusça). Akademiya Nauk USSR, Moskova–Leningrad, 1937, ss. 311 ve devamı.
  5. Sayısal Analiz, D. R. Hartree. Oxford University Press, Londra, 1952, ss. 143–144.

Şekiller

Şekil 1. Şematik, kiriş eğilme problemi.

Şekil 2. Şematik, bağlaşık kiriş titreşimleri.

Şekil 3. Bağlaşık titreşim modları.

Sınır Değer Problemleri (sayfa 29'dan devam)

Ek

Bilgisayar Sembolleri Tablosu

Potansiyometre
0 < a < 1

İntegratör

Röle

Toplama Yükselteci

Servo Çarpan

Yüksek Kazançlı Yükselteç
(x + y) yaklaşık olarak sıfır olmalıdır

Fonksiyon Üreteci
f(x)

Röle, x > y olduğunda kapanır ve A'yı (kol) NO'ya (normalde açık) bağlar; aksi halde A, NC'ye (normalde kapalı) bağlanır.