Bana öyle geliyor ki bazı okuyucularınız, birçok otomatik dijital bilgisayarda önemli olduğu ve çoğu matematik eserinde tam olarak açıklanmadığı veya örneklendirilmediği için ikili aritmetikle ilgilenebilirler. Sonuçta, otomatik bilgisayarlara giriş yapan herkesin ikili aritmetik ile kendini rahat hissetmeyi öğrenmesi gerekir.
İkili sayı sistemi veya ikili gösterim (binary notation), sayıların alışılmış ondalık (decimal) gösterimdeki on tabanı yerine iki tabanına göre ifade edildiği bir sistemdir. Yani, ikili sistemdeki "10" sembolü iki, "11" üç, "100" dört anlamına gelir ve bu şekilde devam eder. Herhangi bir sayıyı ifade etmek için yalnızca iki farklı rakam gerekir; bunlar sıfır anlamına gelen "0" ve bir anlamına gelen "1"dir. Rakamların konumları on yerine ikinin kuvvetlerini belirtir.
Hesaplama makineleri uygulamaları için ikili sistem birçok avantaj sunar. İki kararlı (stable) duruma sahip herhangi bir mekanik veya elektrikli cihaz, bir ikili rakamı temsil etmek için kullanılabilir. İkili rakamları temsil etmek için kullanılan bazı cihazlar: anahtarlar, röleler, vakum tüpleri, elektrik lambaları, eksantrik milleri (cam shafts). Örneğin bir elektrik lambası ile, yanan bir lamba "1"i, sönük bir lamba ise "0"ı temsil edebilir.
Ancak ikili gösterimin kullanımı sadece makinelerle sınırlı değildir. Bu sistemde sıradan kağıt-kalem aritmetiği yapmak da gayet mümkündür. Bunu yapabilmek için sadece bir toplama tablosuna ve bir çarpma tablosuna ihtiyacımız var:
Toplama Tablosu (+)
| + | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 10 |
Çarpma Tablosu (×)
| × | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
Bu tabloların ne kadar basit olduğuna dikkat ediniz. Ondalık gösterimde ilgili tabloların her biri 100 girdi içerir ve her çocuk okul hayatının birkaç yüz saatini bunları ezberlemekle geçirir; oysa ikili gösterim tabloları herhangi bir çocuk tarafından çok kısa sürede öğrenilebilir. Leibniz, ikili sistemin ondalık gösterime üstünlüğünden o kadar etkilenmişti ki, evrensel kullanımını savunmuştu.
"e" Sabitinin İkili Hesaplanması
İkili gösterimin kullanımına bir örnek olarak, iyi bilinen matematiksel "e" sabitinin değerini ikili sistemde hesaplayalım. "e", n sınırsız olarak artarken aşağıdaki serinin toplamının limiti olarak tanımlanır:
İkili gösterimde "e" için karşılık gelen ifade:
İlk iki terimin her ikisi de 1'dir. Üçüncü terim, ikincinin (ikili) 10'a bölünmesiyle elde edilir; bu işlem bölünenin bir basamak sağa kaydırılmasıyla yapılır, dolayısıyla terim 0.1'dir.
Dördüncü terim, son terimin 11'e bölünmesiyle elde edilir. İkili aritmetiğin işleyişini göstermek için bunu ayrıntılı olarak yapalım:
İkili Uzun Bölme
Bölen (11), kısmi kalandan büyük → bölüme 0: 0. 11 ) 0.1 0.0 11 ) 0.10 Bölen (11) artık kısmi kalandan (100) küçük → bölüme 1: 0.001 11 ) 0.100 11 ── 10 Devam → Bölen eşit, bölüme 0, sonra 1: 0.001 01 11 ) 0.100 000 11 ── 100 11 ── 10 Bölümün tekrarlanacağı açıktır.
Böylece dördüncü terim için nihai sonuç:
0.001 010 101 010 101 010 101 ···
Beşinci terim, yukarıdaki sonucun 100'e bölünmesiyle (tüm rakamları iki hane sağa kaydırmak) elde edilir. Altıncı terim ise 101'e bölünmeyi gerektirir:
0.000 000 100 010 001 000 100 010 001 101 ) 0.000 010 101 010 101 010 101 010 101 000 010 ─── 1 01 1 01 ──── 0 101 vb.
Eğer bölen kısmi çarpımdan daha büyükse bölüme bir 0 koyarız; eğer eşit veya daha küçükse bir 1 koyarız. Ondalık uzun bölmeye kıyasla ikili uzun bölme işleminin ne kadar basit olduğu fark edilecektir.
Seri Terimlerinin Toplanması
Geri kalan terimler için bölme ayrıntıları yazılmayacaktır. Elde edilen tüm bölümler şunlardır:
Terim 1 → 1.0 Terim 2 → 1.0 Terim 3 → 0.1 Terim 4 → 0.001 010 101 010 101 010 101 010 101 010 101 010 101 Terim 5 → 0.000 010 101 010 101 010 101 010 101 010 101 010 101 Terim 6 → 0.000 000 100 010 001 000 100 010 001 000 100 010 001 Terim 7 → 0.000 000 000 101 101 100 000 101 101 100 000 101 101 Terim 8 → 0.000 000 000 000 110 100 000 000 110 100 000 000 110 Terim 9 → 0.000 000 000 000 000 110 100 000 000 110 100 000 000 Terim 10 → 0.000 000 000 000 000 000 101 110 001 110 111 100 011 Terim 11 → 0.000 000 000 000 000 000 000 100 100 111 111 001 001 Terim 12 → 0.000 000 000 000 000 000 000 000 011 010 111 001 100 Terim 13 → 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 010 001 111 011 Terim 14 → 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 001 011 000 Terim 15 → 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 110
Terimlerin toplamını elde etmek için bunları toplamamız gerekiyor. İkili aritmetikte toplama işlemi yapmak kolaydır: sağdaki sütundan başlayarak her bir sütundan aşağıya inin, 1'leri çiftler halinde sadeleştirin. Sadeleştirilen her çift için, bir sol taraftaki sütuna bir 1 ekleyin.
Tablo A — İkili Toplama ve Eldeler
.001 010 101 010 101 010 101 010 101 010 101 010 101 .000 010 101 010 101 010 101 010 101 010 101 010 101 .000 000 100 010 001 000 100 010 001 000 100 010 001 .000 000 000 101 101 100 000 101 101 100 000 101 101 .000 000 000 000 110 100 000 000 110 100 000 000 110 .000 000 000 000 000 110 100 000 000 110 100 000 000 .000 000 000 000 000 000 101 110 001 110 111 100 011 .000 000 000 000 000 000 000 100 100 111 111 001 001 .000 000 000 000 000 000 000 000 011 010 111 001 100 .000 000 000 000 000 000 000 000 000 010 001 111 011 .000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 001 011 000 .000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 110 ·······101·011·111·111·111·111·111·111·111·111·111·11· ← eldeler 111 111 1 11 111 111 111 111 111 11 111 11 1 1 111 111 111 11 1 11 1 1 11 111 11 1 1 1 ────────────────────────────────────────────────────── 10.101 101 111 110 000 101 010 001 011 000 100 111 111
Noktalı çizginin altındaki 1'ler, her durumda bir önceki sütundaki bir çift 1'in sadeleştirilmesinden kaynaklanan eldelerdir (carries). Son 8 basamağı, kullanılmayan terimlerden gelecek eldeler nedeniyle değişebileceğinden, "e" değerimiz olarak yalnızca ilk 34 basamağını kabul ediyoruz:
Ondalık Doğrulama
Sonucun doğruluğunu kontrol etmek için, n. ikili basamaktaki bir 1'in ondalık sistemde (1/2)n'ye eşdeğer olduğunu not etmemiz yeterlidir:
Ondalık Karşılıkların Toplamı2.5 .125 .062 5 .015 625 .007 812 5 .003 906 25 .001 953 125 .000 976 562 5 488 281 25 015 258 789 003 814 697 000 953 674 059 604 014 901 007 450 000 465 058 29 14 7 3 1 ───────────────── 2.718 281 828 4 ···
Sonuç
Bu tartışma ikili gösterimin şu özelliklerini örneklemiş olacaktır:
Birincisi, aritmetiğin temel işlemleri çok kolaylaşır. Toplama ve çarpma işlemleri için uzun tablolar hatırlamamıza gerek yoktur. Bölme işleminde ise deneme bölenlerine ve çarpma işlemlerine gerek kalmaz.
İkincisi, buna karşılık, basit bir hesaplama için ne kadar alana ihtiyaç duyulduğunu fark ediyoruz. "e" için nihai ifademiz 34 anlamlı (significant) rakam gerektirirken, ondalık karşılığının sadece 11 rakama ihtiyacı vardır.
İnsanlar, insan zihninin iki adet 10×10'luk tabloyu oldukça kolay taşıyabilmesi nedeniyle ikili yerine ondalık sistemi tercih ederler. Fakat makineler genellikle ondalık yerine ikili sistemi kullanmayı tercih ederler, çünkü böyle basit toplama ve çarpma tablolarına sahip olmak kablolamayı büyük ölçüde basitleştirir ve o kadar hızlı çalışırlar ki, 11 yerine 34 rakam kullanmanın gerekliliği onlar için hiçbir şey ifade etmez.